przestrzen hausdorffa, podzbiory zwarte

[Lipek17]

Niech \(\displaystyle{ X}\)- przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ A,B\subset X}\) zwarte podzbiory takie, że \(\displaystyle{ A\cap B= \emptyset}\). Wykazać, że istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) otwarte w \(\displaystyle{ X}\) takie, że \(\displaystyle{ A\subset U}\) i \(\displaystyle{ B\subset W}\) .

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz \(\displaystyle{ b\in B}\). Z założeń istnieją \(\displaystyle{ U_a}\) otoczenie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ V_b}\) otocznie \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ U_a\cap V_b=\emptyset}\).

Rozważ odpowiednie rodziny zbiorów otwartych i skorzystaj z założonej zwartości.

[szw1710]

Gdyby założyć tylko domkniętość, to teza zachodzi w przestrzeni normalnej. Nie każda przestrzeń Hausdorffa jest normalna. Normalną jest np. każda przestrzeń metryczna.

Nie mam dowodu na poczekaniu, ale widać, że należy powoływać się na argumenty związane ze zwartością. Np. bierzemy punkty \(\displaystyle{ x\in A}\), \(\displaystyle{ y\in B}\). Z własności Hausdorffa istnieją otwarte i rozłączne zbiory \(\displaystyle{ U_x,W_y}\) takie, że \(\displaystyle{ x\in U_x}\), \(\displaystyle{ y\in W_y}\). Zbiory \(\displaystyle{ U_x}\), \(\displaystyle{ W_y}\) stanowią pokrycia otwarte zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\). W subtelny sposób trzeba z nich wybrać podpokrycia skończone tak, żeby jeszcze ich sumy (projektowane zbiory \(\displaystyle{ U,W}\)) były rozłączne. Oto moja wskazówka.

[yorgin]

Sprawa jest jednak nieco subtelniejsza.

Na początek dobrze jest pokazać, że dla wybranego \(\displaystyle{ a\in A}\) istnieje \(\displaystyle{ U_a}\) otoczenie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ W_a}\) otwarty takie, że \(\displaystyle{ U_a\cap W_a=\emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ B\subset W_a}\). To łatwo wychodzi ze zwartości.

[brzoskwinka1]

Gdyby założyć tylko domkniętość, to teza zachodzi w przestrzeni normalnej.

Ogólniej, zachodzi następujący fakt:
Niech \(\displaystyle{ (X,\tau )}\) będzie regularną przestrzenią topologiczną oraz niech \(\displaystyle{ K,C \subset X}\) przy czym zakładamy, że \(\displaystyle{ C}\) jest domknięty a \(\displaystyle{ K}\) jest zwarty. Istnieją wówczas zbiory \(\displaystyle{ U,V\in \tau}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ C \subset U \wedge K \subset V \wedge U \cap V=\emptyset .}\)
Dowód:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in K}\) istnieją \(\displaystyle{ U_x ,V_x \in \tau}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ x\in V_x}\) , \(\displaystyle{ C \subset U_x}\) i \(\displaystyle{ U_x \cap V_x =\emptyset .}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ K}\) jest zwarty więc istnieją punkty \(\displaystyle{ x_1 , ..., x_m \in K}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ K \subset \bigcup_{j=1}^{m} V_{x_j} .}\)Więc, wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ V= \bigcup_{j=1}^{m} V_{x_j} , U = \bigcap_{j=1}^{m} U_{x_j} .}\) co