Matematyka.pl

Gdyby założyć tylko domkniętość, to teza zachodzi w przestrzeni normalnej. Nie każda przestrzeń Hausdorffa jest normalna. Normalną jest np. każda przestrzeń metryczna.

Nie mam dowodu na poczekaniu, ale widać, że należy powoływać się na argumenty związane ze zwartością. Np. bierzemy punkty \(\displaystyle{ x\in A}\), \(\displaystyle{ y\in B}\). Z własności Hausdorffa istnieją otwarte i rozłączne zbiory \(\displaystyle{ U_x,W_y}\) takie, że \(\displaystyle{ x\in U_x}\), \(\displaystyle{ y\in W_y}\). Zbiory \(\displaystyle{ U_x}\), \(\displaystyle{ W_y}\) stanowią pokrycia otwarte zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\). W subtelny sposób trzeba z nich wybrać podpokrycia skończone tak, żeby jeszcze ich sumy (projektowane zbiory \(\displaystyle{ U,W}\)) były rozłączne. Oto moja wskazówka.

szw1710 pisze:Gdyby założyć tylko domkniętość, to teza zachodzi w przestrzeni normalnej.

Ogólniej, zachodzi następujący fakt:
Niech \(\displaystyle{ (X,\tau )}\) będzie regularną przestrzenią topologiczną oraz niech \(\displaystyle{ K,C \subset X}\) przy czym zakładamy, że \(\displaystyle{ C}\) jest domknięty a \(\displaystyle{ K}\) jest zwarty. Istnieją wówczas zbiory \(\displaystyle{ U,V\in \tau}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ C \subset U \wedge K \subset V \wedge U \cap V=\emptyset .}\)
Dowód:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in K}\) istnieją \(\displaystyle{ U_x ,V_x \in \tau}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ x\in V_x}\) , \(\displaystyle{ C \subset U_x}\) i \(\displaystyle{ U_x \cap V_x =\emptyset .}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ K}\) jest zwarty więc istnieją punkty \(\displaystyle{ x_1 , ..., x_m \in K}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ K \subset \bigcup_{j=1}^{m} V_{x_j} .}\)Więc, wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ V= \bigcup_{j=1}^{m} V_{x_j} , U = \bigcap_{j=1}^{m} U_{x_j} .}\) co