3 równania różnego typu

[taktofon]

Racja.

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} \cdot t= y^2}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dt}{t}}\)

Czyli teraz poprawnie ?

To nam daje potem:

\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = e ^{\ln |t|+C}}\)

\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = t + C}\)

Tylko co dalej bo przecież to nie jest jeszcze rozwiązanie ogólne ?


** I mam jeszcze jedno pytanie - jak to jest zrobione, że ludzie z takiego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \ln \left( x \right) = \frac{t^3}{3} + C}\) tworzą takie ---> \(\displaystyle{ x=e^{\frac{t^3}{3}+C}}\)

Albo z takiego:

\(\displaystyle{ \arctan \left( x \right) =\frac{t^2}{2} + C}\) robią takie ----> \(\displaystyle{ x=\tg \left( \frac{t^2}{2} + C \right)}\)

[yorgin]

Czyli teraz poprawnie ?

Tak.

To nam daje potem:

\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = e ^{\ln |t|+C}}\)

\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = t + C}\)

Tylko co dalej bo przecież to nie jest jeszcze rozwiązanie ogólne ?

To jest już rozwiązanie, albo w postaci uwikłanej, albo będące funkcją zmiennej \(\displaystyle{ y}\). Zakładam jednak, że chcesz rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ y=y(t)}\). Cóż, wyrugować \(\displaystyle{ y}\) powinieneś potrafić bez mrugnięcia okiem.

** I mam jeszcze jedno pytanie - jak to jest zrobione, że ludzie z takiego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \ln \left( x \right) = \frac{t^3}{3} + C}\) tworzą takie ---> \(\displaystyle{ x=e^{\frac{t^3}{3}+C}}\)

Albo z takiego:

\(\displaystyle{ \arctan \left( x \right) =\frac{t^2}{2} + C}\) robią takie ----> \(\displaystyle{ x=\tg \left( \frac{t^2}{2} + C \right)}\)

Zapewne na takiej samej podstawie, na której zrobiłeś to przejście:

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dt}{t}}\)
\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = e ^{\ln |t|+C}}\)

[taktofon]

Cóż, wyrugować \(\displaystyle{ y}\) powinieneś potrafić bez mrugnięcia okiem.

Mrugam i nadal nie wiem, pokaż proszę jak to zrobić na tym przykładzie to będę wiedział o co chodzi.

Zapewne na takiej samej podstawie, na której zrobiłeś to przejście:

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dt}{t}}\)
\(\displaystyle{ e^{-y^{-1}} = e ^{\ln |t|+C}}\)

To może pokażesz jak, bo nie mam pojęcia co mam z tym zrobić ?

[yorgin]

Mrugam i nadal nie wiem, pokaż proszę jak to zrobić na tym przykładzie to będę wiedział o co chodzi.

Może dlatego, że przekombinowałeś, zupełnie niepotrzebnie.

Masz przecież

\(\displaystyle{ \int \frac{\dd y}{y^2} = \int \frac{\dd t}{t}}\)

czyli

\(\displaystyle{ -\frac{1}{y}=\ln |t|+C}\)

i wyliczenie z tego \(\displaystyle{ y}\) pozostawiam Tobie.

To może pokażesz jak, bo nie mam pojęcia co mam z tym zrobić ?

Nie masz pojęcia, co z tym zrobić, a masz pojęcie, co robić w cytowanym fragmencie. Toż to jest sprzeczne.

Podpowiadam: tangens/arcus tangens oraz logarytm/eksponens to funkcje wzajemnie odwrotne.

[taktofon]

Co do przekombinowania to w przykładach widziałem jak tak podstawiają, że e podnoszą do tego co wyjdzie czyli tego nie trzeba robić? Czy robi się w jakichś wyjątkowych sytuacjach ?


A potem jak wyliczę \(\displaystyle{ y}\) to podstawiam \(\displaystyle{ y= \frac{x}{t}}\) i wyliczam ile wynosi \(\displaystyle{ x}\) i mam rozwiązanie ogólne, tak ?

[yorgin]

Co do przekombinowania to w przykładach widziałem jak tak podstawiają, że e podnoszą do tego co wyjdzie czyli tego nie trzeba robić? Czy robi się w jakichś wyjątkowych sytuacjach ?

Nie zawsze. Najpierw po prostu całkujesz. Patrzysz, jak wygląda strona z \(\displaystyle{ y}\). Jeżeli jest postaci powiedzmy

\(\displaystyle{ \ln |f(y)|=g(x)+C}\)

to wtedy jest sens podnosić \(\displaystyle{ e}\) do obu stron, otrzymując

\(\displaystyle{ f(y)=De^{g(x)}}\).

A potem jak wyliczę \(\displaystyle{ y}\) to podstawiam \(\displaystyle{ y= \frac{x}{t}}\) i wyliczam ile wynosi \(\displaystyle{ x}\) i mam rozwiązanie ogólne, tak ?

Tak.