3 równania różnego typu

[taktofon]

Witajcie,

prosiłbym o informację jak rozwiązać te całki, bo nie potrafię ich rozpoznać, albo rozpoznaję źle.

1.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = x^2\sin(t)}\) To jest równanie o zmiennych rozdzielonych ?

2.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = \left(\frac{x}{t}\right)^2 + \frac{x}{t}}\) tu nie wiem

3.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = \frac{x}{t} + 2t^2e^{t^2}}\) Bernoulli?

Nie proszę o gotowce, ale o rady, choć co do drugiej całki to nie wiem w ogóle nic, nawet jak się zabrać więc jakby mi ktoś pokazał to byłbym wdzięczny, bo najlepiej na przykładach rozumiem. Dziękuję.

[lukasz1804]

Pierwsze równanie jest na pewno równaniem o rozdzielonych zmiennych, drugie - o ile jest poprawnie zapisane - też jest tego typu, wystarczy dodać oba ułamki (jeśli natomiast prawa strona wyglądałaby tak \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{t}\right)^2+\frac{x}{t}}\), mielibyśmy tzw. równanie jednorodne).
Równanie trzecie jest liniowe niejednorodne.

Odsyłam na początek do Kompendium Analizy:
79707.htm
100572.htm

[yorgin]

1.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = x^2\sin(t)}\) To jest równanie o zmiennych rozdzielonych ?

Tak.

2.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = \frac{x}{t}^2 + \frac{x}{t}}\) tu nie wiem

To też jest o zmiennych rozdzielonych.

3.

\(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t} = \frac{x}{t} + 2t^2e^{t^2}}\) Bernoulli?

Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{x}{t}}\).

[taktofon]

Te drugie ktoś mi zmienił, teraz jest poprawnie i to chyba już nie będzie o zmiennych rozdzielonych ?

[lukasz1804]

Napisałem powyżej, że jest to wówczas tzw. równanie jednorodne. Da się je sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych, przez podstawienie \(\displaystyle{ y=\frac{x}{t}}\).

[taktofon]

Jeśli mamy \(\displaystyle{ y=\frac{x}{t}}\)

to wtedy \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = y^2 + y}\)

i jak to sprowadzić do tych zmiennych rozdzielonych ?

I czemu właściwie to jest jednorodne? Wg mnie jest niejednorodne wg schematu \(\displaystyle{ a(t)x+b(t)}\)

A jednorodne ma: \(\displaystyle{ a(t)x}\) czyli na moje oko mi tu pasuje niejednorodne.

[yorgin]

Jeśli mamy \(\displaystyle{ y=\frac{x}{t}}\)

to wtedy \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = y^2 + y}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ y=\frac{x}{t}}\), to \(\displaystyle{ x=yt}\), więc \(\displaystyle{ x'=y't+y}\).

[taktofon]

A dlaczego jednorodne? Bo ja naprawdę nie widzę tu tego kurcze. Dla mnie jest niejednorodne bo są dwa składniki sumowane a nie np. \(\displaystyle{ a(t) \cdot b(t)}\)-- 16 sty 2014, o 19:11 --Więc jeśli mam \(\displaystyle{ x'=y't+y}\) to robię z tego \(\displaystyle{ x' = y' \cdot t+y}\) czyli \(\displaystyle{ y'= \frac{x'-y}{t}}\) ale co dalej z tym ?

[yorgin]

A dlaczego jednorodne? Bo ja naprawdę nie widzę tu tego kurcze. Dla mnie jest niejednorodne bo są dwa składniki sumowane a nie np. \(\displaystyle{ a(t) \cdot b(t)}\)

Przypomnij sobie definicję funkcji jednorodnej.

Jeżeli masz równanie postaci \(\displaystyle{ y'=f(\frac{y}{x})}\), to jasne jest, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją jednorodną stopnia pierwszego.

Albo rzuć okiem

Kod: Zaznacz cały

http://smurf.mimuw.edu.pl/node/270

Więc jeśli mam \(\displaystyle{ x'=y't+y}\) to robię z tego \(\displaystyle{ x' = y' \cdot t+y}\) czyli \(\displaystyle{ y'= \frac{x'-y}{t}}\) ale co dalej z tym ?

Ale po co Ci \(\displaystyle{ y'}\) skoro w równaniu masz \(\displaystyle{ x'=\ldots}\) i wyżej wyliczyłem Ci \(\displaystyle{ x'}\) po podstawieniu?

[taktofon]

A możesz dokładnie pokazać na tym przykładzie pokazać jak to wykonać, bo ja nie wiem co tu jest czym, czy y' to jest te \(\displaystyle{ y= \frac{x}{t}}\) czy co innego. Bardzo bym był wdzięczny.

[yorgin]

Masz \(\displaystyle{ y(t):=\frac{x(t)}{t}}\), więc \(\displaystyle{ x(t)=t\cdot y(t)}\), czyli po zróżniczkowaniu \(\displaystyle{ x'(t)=y(t)+t\cdot y'(t)}\) i to podstawiasz pod równanie różniczkowe. Prościej się nie da.

[taktofon]

Więć robię tak:

\(\displaystyle{ y=x \cdot t}\)
\(\displaystyle{ y'=(t \cdot x)' = t' \cdot x + t}\)
\(\displaystyle{ t' \cdot x + t = t^2 + t | :t}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{x} \cdot x = t^2}\)

I dochodzę do \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t^2} = \int \frac{dx}{x}}\)

Więc wychodzi \(\displaystyle{ -t^{-1} = ln |x| + C}\)

Podnoszę do e i mam: \(\displaystyle{ e^{-t^{-1}} = e^{ln|x|+C}}\) czyli

\(\displaystyle{ e^{-t} = C \cdot x}\)

tylko jak teraz stąd wyciągnąć t, bo na razie jeszcze nie mam zmiennych rozdzielonych ?

[yorgin]

taktofon, nie rozumiem, co robisz. Dlaczego nagle zmieniasz \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) rolami?

Jak podstawisz, to wychodzi

\(\displaystyle{ y't+y=y^2+y}\)

czyli

\(\displaystyle{ y't=y^2}\)

i jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. Nie rozumiem więc ostatniego pytania.

[taktofon]

\(\displaystyle{ y't=y^2}\)

i jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.

Czyli dalej rozpisuję to tak:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = y^2}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{y^2} = \int dt}\)

?

[yorgin]

Nie.

Co się stało z \(\displaystyle{ t}\) przy \(\displaystyle{ y'}\) po rozpisaniu?