Uzasadnić zbieżność i obliczyć sumę szeregu

[ostas12345]

Cześć, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania.

Uzasadnić zbieżność, obliczyć sumę szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} (-2)^{-k} \cdot 3^{-n+k} \frac{1}{k!} \right)}\)

Próbowałem wykorzystać wzór dwumienny Newtona

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} (-2)^{-k} \cdot 3^{-n+k} \frac{1}{k!} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sum_{k=0}^{n} {n\choose k} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k}}{(n-k+1)(n-k+2)\cdot \ldots \cdot n} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}\)

i otrzymałem

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{n} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n} - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right)}{(n-k+1)(n-k+2)\cdot \ldots \cdot n}}\)

Taki zapis jest oczywiście nielegalny ze względu na \(\displaystyle{ k}\) w mianowniku. Gdyby ktoś mógł podać wskazówkę jak rozwiązać to zadanie to byłbym wdzięczny.

[a4karo]

wsk. ten szereg można zapisac tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{3^n}\sum_{k=2}^n\frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^k}{k!}}\)

[ostas12345]

Gdyby nie było \(\displaystyle{ k!}\) w mianowniku to mielibyśmy sumę ciągu geometrycznego i sprawa by się uprościła.

Czy można by prosić o jeszcze jedną wskazówkę?

[a4karo]

Pokaż, że ta suma wewnętrzna jest ograniczona: \(\displaystyle{ \left|\sum_{k=2}^n \frac{(-3/2)^k}{k!}\left|\leq \sum_{k=2}^\infty \frac{(3/2)^k}{k!}}\)

[ostas12345]

Tak będzie poprawnie?

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^\infty \frac{(3/2)^k}{k!}}\) jest zbieżny z kryterium Cauchy'ego \(\displaystyle{ \lim_{ k\to \infty} \frac{3/2}{\sqrt[k]{k!}} = 0}\), czyli jest ograniczony.

\(\displaystyle{ \left|S_n\right| = \left|\sum_{k=2}^n \frac{(-3/2)^k}{k!}\left|\leq \sum_{k=2}^\infty \frac{(3/2)^k}{k!} < M}\)
Dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \quad \frac{\left|S_n\right|}{3^n} < \frac{M}{3^n}}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{M}{3^n}}\) jest zbieżny, więc wyjściowy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{S_n}{3^n}}\) jest zbieżny bezwzględnie z kryterium porównawczego.

Czy mógłbym jeszcze prosić o wskazówkę dotyczącą obliczania sumy powyższego szeregu?

[Dasio11]

Spróbuj dopasować wzór tej sumy do iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów.

[a4karo]

od razu wiesz, że \(\displaystyle{ \sqrt[k]{k!}\to \infty}\)? Ja tu wolę d'Alemberta. Ale ok. Na sumę nie mam dobrego pomysłu.

Ale Dasio ma

[ostas12345]

Ok już policzyłem. Dzięki wielkie
Teraz co prawda jak się ma sumę szeregu, nie trzeba już uzasadniać, że jest zbieżny, bo jak szereg ma skończoną sumę to jest zbieżny.

[Dasio11]

Czekaj. A skąd wiesz, że ma sumę?

[ostas12345]

Wyszło mi, że ma sumę równą \(\displaystyle{ \frac{3}{2\sqrt{e}}}\). Trzeba było wykorzystać szereg Taylora i wzór na sumę szeregu geometrycznego

[Dasio11]

Ale skąd dokładnie wiesz, że ona tyle wynosi?

[ostas12345]

Sorry, że tak późno odpisuję, ale musiałem nadrobić zaległości z algebry. Tak naprawdę granica powinna wynosić \(\displaystyle{ \frac{3}{2\sqrt{e}}-\frac{3}{4}}\).
Postępując zgodnie ze wskazówką Dasia11 wyszło mi, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(-2)^{k}\cdot 3^{n-k}\cdot k!} \right)
= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n-2}}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n-2}} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}\) suma szeregu geometrycznego

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}}{n!} - \frac{1}{2} = e^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}}\) bo \(\displaystyle{ {e}^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}}\)
Czyli całość jest równa \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{e}}-\frac{1}{2} \right)}\)

[Dasio11]

W porządku. Chciałem tylko zwrócić uwagę na rozumowanie. Zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(-2)^{k}\cdot 3^{n-k}\cdot k!} \right)}\)

oraz równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(-2)^{k}\cdot 3^{n-k}\cdot k!} \right) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n-2}}}\)

wynikają z twierdzenia Mertensa, bo szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n}\) jest bezwzględnie zbieżny. Nie można powiedzieć, że 'szereg jest zbieżny bo ma sumę'.