Stałe równoważności norm
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ___
- Podziękował: 4 razy
Stałe równoważności norm
Wyznaczyć stałe: największą możliwą \(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni c>0}\) oraz najmniejszą możliwą \(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni C>0}\), takie że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}\le C \cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)
nie wiem jak to ruszyć, tylko takie trywialne znalazłem: \(\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{2}{k(k+1)}}, \ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k\frac{1}{j}}}\), no ale nie o coś takiego pytają w zadaniu.
\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}\le C \cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)
nie wiem jak to ruszyć, tylko takie trywialne znalazłem: \(\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{2}{k(k+1)}}, \ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k\frac{1}{j}}}\), no ale nie o coś takiego pytają w zadaniu.
Stałe równoważności norm
Ja patrzę na płaszczyznę. W te środkowej normie \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{|x|^2+\frac{1}{2}|y|^2}}\) kula powinna wyglądać jak elipsa. Mianowicie tam skracamy oś \(\displaystyle{ y}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) i bierzemy zwykłą normę (na tym polega ta norma środkowa). No więc nierówność głosi, że kula o promieniu \(\displaystyle{ c}\) siedzi w elipsie, a elipsa siedzi w kuli o promieniu \(\displaystyle{ C}\). Geometrycznie powinieneś znaleźć takie \(\displaystyle{ c,C}\). Jak to przejdziesz, w \(\displaystyle{ \RR^n}\) powinno jakoś pójść. Operuj kulami jednostkowymi. Więc bierzesz na wejściu kulę (elipsę) jednostkową w środkowej normie i wpisujesz zwykłe kule (okrągłe), a także je opisujesz. Widać, że najmniejsze \(\displaystyle{ C}\) to długość osi wielkiej, największe \(\displaystyle{ c}\) to długość osi małej. Być może połowy tych długości, ale moja idea jest chyba dość czytelna.
-
- Użytkownik
- Posty: 22257
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Stałe równoważności norm
Elipsy są ładne, ale ... to chyba zbyt skomplikowane.
Trzeci pierwiastek jest nie mniejszy od drugiego, więc \(\displaystyle{ C\leq 1}\). Potrafisz znaleźć iksy, dla których zachodzi równość?
Podobnie poradzisz sobie z lewą nierównością.
Trzeci pierwiastek jest nie mniejszy od drugiego, więc \(\displaystyle{ C\leq 1}\). Potrafisz znaleźć iksy, dla których zachodzi równość?
Podobnie poradzisz sobie z lewą nierównością.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ___
- Podziękował: 4 razy
Stałe równoważności norm
o, super! rzeczywiście nierówność trywialna oraz dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_1}}\), czyli pierwszego wersora bazy standardowej jest równość
co do pierwszej nierówności to bym powiedział, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{k}}\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}}\) oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), zgadza się?
co do pierwszej nierówności to bym powiedział, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{k}}\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}}\) oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 22257
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Stałe równoważności norm
dokladnie tak!
Sorry, tak to ma mało sensu. Środowy wyraz ma być
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\) (bez pierwiastka)
W tym sformułowaniu zadanie staje się ciekawe
Sorry, tak to ma mało sensu. Środowy wyraz ma być
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\) (bez pierwiastka)
W tym sformułowaniu zadanie staje się ciekawe
Ostatnio zmieniony 8 gru 2013, o 20:49 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
Stałe równoważności norm
Ale z mojego argumentu z elipsami też można wyczytać, że \(\displaystyle{ C=1}\). Myślałem nad tym w drodze do kościoła. Otóż jedynka to najdłuższa jednostka na osi po podaniu układu transformacji. Jedynie na pierwszej osi nie zmieniamy skali. Podobnie najkrótsza jednostka jest na ostatniej osi, stąd \(\displaystyle{ c=\frac{1}{\sqrt{k}}}\). Ja popatrzałem na to geometrycznie, nie analitycznie. Taki argument zastosowałem, niczego nie umniejszając innym argumentom.
Stałe równoważności norm
Nie trzeba \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowej. Płaszczyzna zupełnie wystarcza. Oraz świadomość, że im wyżej, tym bardziej osie się skracają. To jest jedyny element z \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowości To właśnie wymyśliłem w drodze do kościoła. Matematyka ma jednak jakiś aspekt transcendentny.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ___
- Podziękował: 4 razy
Stałe równoważności norm
nie rozumiem tej wypowiedzi, można jaśniej? coś źle zrobiłem?a4karo pisze: Sorry, tak to ma mało sensu. Środowy wyraz ma być
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\) (bez pierwiastka)
W tym sformułowaniu zadanie staje się ciekawe
-
- Użytkownik
- Posty: 22257
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Stałe równoważności norm
Nie, zrobiłeś wszystko OK. Ja podałem Ci dla rozgrzewki nowy problem: te same rzeczy z przodu i z tyłu, a w środku to, co narysowałem ciut wyżej
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 gru 2013, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ___
- Podziękował: 4 razy
Stałe równoważności norm
Dziękuję, rzeczywiście trochę bardziej wymagająca ta wersja. Przy okazji dzięki Tobie uświadomiłem sobie jedną ciekawą rzecz: \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}\) nie spełnia definicji normy. Takie przemyślenie na boku.
Teraz chcemy znaleźć maksymalne \(\displaystyle{ c>0}\), że: \(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\)
możemy równie dobrze podnieść stronami do drugiej potęgi:
\(\displaystyle{ c^2 \cdot \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \le \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 = \sum_{i=1}^k \frac{|x_i|^2}{i^2} + \sum_{1\le i\neq j \le k} \frac{|x_ix_j|}{i\cdot j}}\)
i z tej postaci widać, że dla \(\displaystyle{ c=\frac{1}{k}}\) mamy nierówność dla wszystkich wektorów, oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), czyli mamy pierwszą stałą równoważności
Z drugiej strony chcemy minimalne \(\displaystyle{ C>0}\), że:
\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\le C\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)
znowu podnosimy obustronnie do drugiej potęgi i korzystamy (w pierwszej poniżej nierówności) z nierówności Cauchy'ego - Schwartza:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 \le \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \cdot \left(\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}\right)}\), zatem dla stałej \(\displaystyle{ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}}}\) nierówność zachodzi, a aby się przekonać, że jest ona minimalna wystarczy zauważyć, że mamy równość dla wetora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \forall_{j\in\left\{ 1,...,k\right\} } \ x_j=\frac{1}{j}}\)
zgadza się?
Teraz chcemy znaleźć maksymalne \(\displaystyle{ c>0}\), że: \(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\)
możemy równie dobrze podnieść stronami do drugiej potęgi:
\(\displaystyle{ c^2 \cdot \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \le \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 = \sum_{i=1}^k \frac{|x_i|^2}{i^2} + \sum_{1\le i\neq j \le k} \frac{|x_ix_j|}{i\cdot j}}\)
i z tej postaci widać, że dla \(\displaystyle{ c=\frac{1}{k}}\) mamy nierówność dla wszystkich wektorów, oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), czyli mamy pierwszą stałą równoważności
Z drugiej strony chcemy minimalne \(\displaystyle{ C>0}\), że:
\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\le C\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)
znowu podnosimy obustronnie do drugiej potęgi i korzystamy (w pierwszej poniżej nierówności) z nierówności Cauchy'ego - Schwartza:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 \le \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \cdot \left(\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}\right)}\), zatem dla stałej \(\displaystyle{ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}}}\) nierówność zachodzi, a aby się przekonać, że jest ona minimalna wystarczy zauważyć, że mamy równość dla wetora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \forall_{j\in\left\{ 1,...,k\right\} } \ x_j=\frac{1}{j}}\)
zgadza się?