Matematyka.pl

Wyznaczyć stałe: największą możliwą \(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni c>0}\) oraz najmniejszą możliwą \(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni C>0}\), takie że zachodzi:

\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}\le C \cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)

nie wiem jak to ruszyć, tylko takie trywialne znalazłem: \(\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{2}{k(k+1)}}, \ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k\frac{1}{j}}}\), no ale nie o coś takiego pytają w zadaniu.

Ja patrzę na płaszczyznę. W te środkowej normie \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{|x|^2+\frac{1}{2}|y|^2}}\) kula powinna wyglądać jak elipsa. Mianowicie tam skracamy oś \(\displaystyle{ y}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) i bierzemy zwykłą normę (na tym polega ta norma środkowa). No więc nierówność głosi, że kula o promieniu \(\displaystyle{ c}\) siedzi w elipsie, a elipsa siedzi w kuli o promieniu \(\displaystyle{ C}\). Geometrycznie powinieneś znaleźć takie \(\displaystyle{ c,C}\). Jak to przejdziesz, w \(\displaystyle{ \RR^n}\) powinno jakoś pójść. Operuj kulami jednostkowymi. Więc bierzesz na wejściu kulę (elipsę) jednostkową w środkowej normie i wpisujesz zwykłe kule (okrągłe), a także je opisujesz. Widać, że najmniejsze \(\displaystyle{ C}\) to długość osi wielkiej, największe \(\displaystyle{ c}\) to długość osi małej. Być może połowy tych długości, ale moja idea jest chyba dość czytelna.

Elipsy są ładne, ale ... to chyba zbyt skomplikowane.
Trzeci pierwiastek jest nie mniejszy od drugiego, więc \(\displaystyle{ C\leq 1}\). Potrafisz znaleźć iksy, dla których zachodzi równość?
Podobnie poradzisz sobie z lewą nierównością.

o, super! rzeczywiście nierówność trywialna oraz dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_1}}\), czyli pierwszego wersora bazy standardowej jest równość

co do pierwszej nierówności to bym powiedział, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{k}}\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}}\) oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), zgadza się?

dokladnie tak!

Sorry, tak to ma mało sensu. Środowy wyraz ma być
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\) (bez pierwiastka)

W tym sformułowaniu zadanie staje się ciekawe

Ale z mojego argumentu z elipsami też można wyczytać, że \(\displaystyle{ C=1}\). Myślałem nad tym w drodze do kościoła. Otóż jedynka to najdłuższa jednostka na osi po podaniu układu transformacji. Jedynie na pierwszej osi nie zmieniamy skali. Podobnie najkrótsza jednostka jest na ostatniej osi, stąd \(\displaystyle{ c=\frac{1}{\sqrt{k}}}\). Ja popatrzałem na to geometrycznie, nie analitycznie. Taki argument zastosowałem, niczego nie umniejszając innym argumentom.

Pełna zgoda
Ładna geometryczna idea, która się sprawdza gdy ma się troche n-wymiarowej wyobrazni.

Pozdrawiam serdecznie

Nie trzeba \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowej. Płaszczyzna zupełnie wystarcza. Oraz świadomość, że im wyżej, tym bardziej osie się skracają. To jest jedyny element z \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowości To właśnie wymyśliłem w drodze do kościoła. Matematyka ma jednak jakiś aspekt transcendentny.

a4karo pisze: Sorry, tak to ma mało sensu. Środowy wyraz ma być
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\) (bez pierwiastka)

W tym sformułowaniu zadanie staje się ciekawe

nie rozumiem tej wypowiedzi, można jaśniej? coś źle zrobiłem?

Nie, zrobiłeś wszystko OK. Ja podałem Ci dla rozgrzewki nowy problem: te same rzeczy z przodu i z tyłu, a w środku to, co narysowałem ciut wyżej

Dziękuję, rzeczywiście trochę bardziej wymagająca ta wersja. Przy okazji dzięki Tobie uświadomiłem sobie jedną ciekawą rzecz: \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|^2}{j}}\) nie spełnia definicji normy. Takie przemyślenie na boku.


Teraz chcemy znaleźć maksymalne \(\displaystyle{ c>0}\), że: \(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ c\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}\le \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}}\)

możemy równie dobrze podnieść stronami do drugiej potęgi:

\(\displaystyle{ c^2 \cdot \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \le \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 = \sum_{i=1}^k \frac{|x_i|^2}{i^2} + \sum_{1\le i\neq j \le k} \frac{|x_ix_j|}{i\cdot j}}\)

i z tej postaci widać, że dla \(\displaystyle{ c=\frac{1}{k}}\) mamy nierówność dla wszystkich wektorów, oraz równość dla \(\displaystyle{ \vec{x}=\vec{e_k}}\), czyli mamy pierwszą stałą równoważności



Z drugiej strony chcemy minimalne \(\displaystyle{ C>0}\), że:
\(\displaystyle{ \forall_{\vec{x}\in\mathbb{R}^k} \ \ \sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\le C\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^k|x_j|^2}}\)

znowu podnosimy obustronnie do drugiej potęgi i korzystamy (w pierwszej poniżej nierówności) z nierówności Cauchy'ego - Schwartza:

\(\displaystyle{ \left(\sum_{j=1}^k \frac{|x_j|}{j}\right)^2 \le \sum_{j=1}^k |x_j|^2 \cdot \left(\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}\right)}\), zatem dla stałej \(\displaystyle{ C=\sqrt{\sum_{j=1}^k \frac{1}{j^2}}}\) nierówność zachodzi, a aby się przekonać, że jest ona minimalna wystarczy zauważyć, że mamy równość dla wetora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) takiego, że \(\displaystyle{ \forall_{j\in\left\{ 1,...,k\right\} } \ x_j=\frac{1}{j}}\)

zgadza się?

Kwadrat normy na ogół nie będzie normą.