zależności pomiędzy dwoma zbiorami:

[Jan Kraszewski]

Jak to nie zmienia? Przecież masz kwantyfikatory w innej kolejności.

JK

[tukanik]

robię drugi przykład:
Jakie zależności są pomiędzy \(\displaystyle{ \bigcap \bigcup_{i \in I } A_i \ \mbox{oraz} \ \bigcup_{i\in I} \bigcap A_i}\)
\(\displaystyle{ B = \bigcup_{i \in I}A_i \\
x \in \bigcap B \Leftrightarrow (\forall k \in B) x \in k \Leftrightarrow (\forall k) ( \exists i \in I )(k\in A_i \wedge x \in k)\\ \\
B_i = \bigcap A_i \\
x \in \bigcup_{i \in I } B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I) x \in B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I )(\forall m \in A_i) ( x\in m)}\)
Stąd widać równość.
Teraz nie masz wyjścia, musisz powiedzieć, że dobrze bez żadnego ale

-- 10 lis 2013, o 23:39 --

Jak to nie zmienia? Przecież masz kwantyfikatory w innej kolejności.

Kiedy ja się tego nauczę?

\(\displaystyle{ (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b)}\)
yorgin mi mówił kiedyś o takiej implikacji:
\(\displaystyle{ (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b) \rightarrow (\forall i\in I)(\exists b )(b\in A_i \land x \in b)}\)
A teraz chyba już możemy wyciągnąć wyciągnąć to \(\displaystyle{ b}\) z koniunkcji? \(\displaystyle{ (\forall i\in I)(\exists b )(b\in A_i \land x \in b) \Leftrightarrow (\forall i\in I)(\exists b\in A_i ) x \in b}\)

[Jan Kraszewski]

Jakie zależności są pomiędzy \(\displaystyle{ \bigcap \bigcup_{i \in I } A_i \ \mbox{oraz} \ \bigcup_{i\in I} \bigcap A_i}\)
\(\displaystyle{ B = \bigcup_{i \in I}A_i \\
x \in \bigcap B \Leftrightarrow (\forall k \in B) x \in k \Leftrightarrow (\forall k) ( \exists i \in I )(k\in A_i \wedge x \in k)\\ \\
B_i = \bigcap A_i \\
x \in \bigcup_{i \in I } B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I) x \in B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I )(\forall m \in A_i) ( x\in m)}\)
Stąd widać równość.
Teraz nie masz wyjścia, musisz powiedzieć, że dobrze bez żadnego ale

Rozpisane dobrze, ale jak Ty zauważyłeś z tego równość pozostanie Twoją słodką tajemnicą...

\(\displaystyle{ (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b)}\)
yorgin mi mówił kiedyś o takiej implikacji:
\(\displaystyle{ (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b) \rightarrow (\forall i\in I)(\exists b )(b\in A_i \land x \in b)}\)
A teraz chyba już możemy wyciągnąć wyciągnąć to \(\displaystyle{ b}\) z koniunkcji? \(\displaystyle{ (\forall i\in I)(\exists b )(b\in A_i \land x \in b) \Leftrightarrow (\forall i\in I)(\exists b\in A_i ) x \in b}\)

Zgadza się. I jaki stąd wniosek?

JK

[tukanik]

Rozpisane dobrze, ale jak Ty zauważyłeś z tego równość pozostanie Twoją słodką tajemnicą...

Nie pozostanie, bo się z Tobą ją podzielę. Tylko nikomu nie mów

\(\displaystyle{ x \in \bigcap B \Leftrightarrow (\forall k \in B) x \in k \Leftrightarrow (\forall k) ( \exists i \in I )(k\in A_i \wedge x \in k)\\ x \in \bigcup_{i \in I } B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I) x \in B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I )(\forall m \in A_i) ( x\in m)}\)
Wiem, że tu z tej implikacji nie możemy skorzystać, bo pierwszy w kolejności jest kwantyfikator ogólny.
Ale ja myślę tak:
Skoro w pierwszym dla każdego \(\displaystyle{ k}\) istnieje \(\displaystyle{ i}\) w \(\displaystyle{ I}\) takie, że każde \(\displaystyle{ k}\) należy do \(\displaystyle{ A_i}\) i \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ k}\)

W drugim istnieje takie \(\displaystyle{ i}\), że dla każdego \(\displaystyle{ m}\) należącego do \(\displaystyle{ A_i}\) mamy \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ m}\).
Ja tu nie widzę różnicy, skąd Ty ją widzisz?

-- 11 lis 2013, o 10:51 --

w tym drugim też proszę o wyjaśnienie. Po prostu mam problem z tymi zapisami. Bo raz jest tak, że zapisujesz koniunkcję, nie wiem kiedy tak wolno a kiedy nie. Powiedz proszę

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x \in \bigcap B \Leftrightarrow (\forall k \in B) x \in k \Leftrightarrow (\forall k) ( \exists i \in I )(k\in A_i \wedge x \in k)\\ x \in \bigcup_{i \in I } B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I) x \in B_i \Leftrightarrow (\exists i \in I )(\forall m \in A_i) ( x\in m)}\)
Wiem, że tu z tej implikacji nie możemy skorzystać, bo pierwszy w kolejności jest kwantyfikator ogólny.
Ale ja myślę tak:
Skoro w pierwszym dla każdego \(\displaystyle{ k}\) istnieje \(\displaystyle{ i}\) w \(\displaystyle{ I}\) takie, że każde \(\displaystyle{ k}\) należy do \(\displaystyle{ A_i}\) i \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ k}\)

W drugim istnieje takie \(\displaystyle{ i}\), że dla każdego \(\displaystyle{ m}\) należącego do \(\displaystyle{ A_i}\) mamy \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ m}\).
Ja tu nie widzę różnicy, skąd Ty ją widzisz?

To bardzo proste, różnica wynika z kolejności kwantyfikatorów. W pierwszym każde \(\displaystyle{ k}\), do którego należy \(\displaystyle{ x}\), należy do pewnego (swojego osobistego) \(\displaystyle{ A_i}\). W drugim istnieje jedno \(\displaystyle{ A_i}\), wspólne dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\), do których należy \(\displaystyle{ x}\).

w tym drugim też proszę o wyjaśnienie. Po prostu mam problem z tymi zapisami. Bo raz jest tak, że zapisujesz koniunkcję, nie wiem kiedy tak wolno a kiedy nie. Powiedz proszę

Pokazałeś

\(\displaystyle{ x\in \bigcup C \Leftrightarrow (\exists b \in C ) x \in b \Leftrightarrow(\exists b \in \bigcap_{i \in I } A_i ) x \in b \Leftrightarrow(\exists b )(b\in \bigcap_{i \in I } A_i \land x \in b) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exists b )\left( (\forall i\in I)(b\in A_i\right) \land x \in b) \Leftrightarrow (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b) \Rightarrow \\ \Rightarrow (\forall i\in I)(\exists b )(b\in A_i \land x \in b) \Leftrightarrow (\forall i\in I)(\exists b\in A_i ) x \in b\Leftrightarrow (\forall i \in I ) (x \in B_i) \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x \in \bigcap_{i \in I } B_i}\)

co daje

\(\displaystyle{ \bigcup \bigcap_{i \in I} A_i \subseteq \bigcap_{i \in I } \bigcup A_i}\)

JK

[tukanik]

ok, jasne.
Ta implikacja działa tylko jeżeli na początku jest taka postać kwantyfikatora egzystencjalnego:
\(\displaystyle{ \exists b}\)
bez żadnego dodatkowego warunku, np. \(\displaystyle{ \exists b \in k}\)

[Jan Kraszewski]

Ta implikacja działa tylko jeżeli na początku jest taka postać kwantyfikatora egzystencjalnego:
\(\displaystyle{ \exists b}\)
bez żadnego dodatkowego warunku, np. \(\displaystyle{ \exists b \in k}\)

JK

[tukanik]

\(\displaystyle{ (\exists b )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b)}\)
Tu możemy zamienić kwantyfikatory, prawda?
Czy moglibyśmy tu:?
\(\displaystyle{ (\exists b\in P )(\forall i\in I)(b\in A_i \land x \in b)}\)

[Jan Kraszewski]

No w życiu! Ani tu, ani tu nie możesz zamienić kwantyfikatorów!

JK

[tukanik]

może mnie źle zrozumiałeś
Chodzi mi o zamienienie kolejności

[Jan Kraszewski]

Dalej Cię nie rozumiem.

JK

[bough]

Może się wtrącę i napiszę przykład na to, że nie można zmieniać kolejności kwantyfikatorów. Rozważmy 2 zdania:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}\exists_{y\in \mathbb{R}} x \leq y}\),
\(\displaystyle{ \exists_{y\in \mathbb{R}}\forall_{x\in\mathbb{R}} x \leq y}\).

Pierwsze zdanie mówi, że dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba od niej większa lub równa (jest to prawda).
Drugie mówi, że istnieje liczba rzeczywista większa (lub równa) od wszystkich innych (fałsz).

[tukanik]

Dobra, poradzę sobie

[Jan Kraszewski]

Dalej Cię nie rozumiem.

Nie rozumiałem Cię, bo mówiłem właśnie o tym, że nie można zamieniać kolejności...

JK

[tukanik]

Ale jest przecież implikacja, która to robi.
Ok, masz rację. Nie można zamieniać kolejności. To jest totalna bzdura. Istnieje jednak implikacja która w takim szczególnym przypadku działa i nie jest to wcale jakiś nadzwyczajne, bo to widać.
Teraz ok?