zależności pomiędzy dwoma zbiorami:

[void_t]

Emm... przecież:

(...)
Normalnie. \(\displaystyle{ A_i}\) jest rodziną zbiorów i bierzesz jej przekrój. Robisz tak dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\) i sumujesz wyniki.

Potrenuj na takich przykładach: \(\displaystyle{ A_i=\{[i,n]:n\in\NN\land n\ge i\}}\) dla \(\displaystyle{ I=\NN}\) i \(\displaystyle{ I=\RR}\).

JK

Wygląda mi to na zadanie, które zalecono ci przetrenować.

[Jan Kraszewski]

Dokładnie. A celem jest, byś wykonując konkretne wyliczenia zauważył, jaki jest sens tych podwójnych działań uogólnionych, postawił być może hipotezy co do zależności pomiędzy zbiorami, które zadano Ci w wyjściowym zadaniu i dopiero potem startował w znaczki - gdy już będziesz wiedział/rozumiał, co chcesz udowodnić.

JK

[tukanik]

no dobrze, ale jeśli chodzi o ten zapis:
\(\displaystyle{ \bigcap_{i \in I } \bigcup A_i}\)
To jak możemy przecinać sumę indeksowaną? Przecież, jeżeli zsumujemy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ A_i,}\) to ta rodzina nie będzie już zawierała zbiorów \(\displaystyle{ A_i}\) więc po czym będzie indeks chodził?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ A_i}\) jest rodziną zbiorów. Oznacz \(\displaystyle{ B_i=\bigcup A_i}\) i policz \(\displaystyle{ \bigcap_{i\in I}B_i}\).

JK

[tukanik]

\(\displaystyle{ \bigcap_{i\in I}B_i}\)
Co ja tu mogę policzyć? Poza napisaniem definicji?

[Jan Kraszewski]

Nie łap mnie za słówka, chciałeś wytłumaczenia znaczenia zapisu.

JK

PS. A policzyć możesz zadanie, które Ci zaproponowałem...

[tukanik]

dobrze. Rozważyłem Twój przykład dla naturalnych.
Przecięciem jest zbiór zawierający jedynkę. Dale nie rozumiem, po co jest sumowanie. Przecież czy z sumą czy bez ten sam wynik.-- 10 lis 2013, o 01:36 --jeśli chodzi o rzeczywiste, jeżeli indeksy mogą być ujemne, to gdzie zacząć?

[Jan Kraszewski]

dobrze. Rozważyłem Twój przykład dla naturalnych.
Przecięciem jest zbiór zawierający jedynkę. Dale nie rozumiem, po co jest sumowanie. Przecież czy z sumą czy bez ten sam wynik.

Oj, Ty coś nie rozumiesz mojego przykładu... Jaka jedynka?!

JK

[tukanik]

Za naturalne uznaję liczby od \(\displaystyle{ 1}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ A_1 = \{1,...,n\}\\
A_2 = \{2, .... ,n\}\\
A_3 = \{3,......, n\}}\)
Jeżeli je wszystkie przetniemy, to jaki jest element wspólny?
No jeden!

[Jan Kraszewski]

Ale co to ma wspólnego z \(\displaystyle{ A_i=\{[i,n]:n\in\NN\land n\ge i\}}\) dla \(\displaystyle{ I=\NN}\) ?

Przecież \(\displaystyle{ A_i}\) to rodzina przedziałów domkniętych...

JK

[tukanik]

to w takim razie nie rozumiem, co zapisałeś.
Jak ten przedział ogranicza \(\displaystyle{ n}\), jeżeli nie jest ustalone? Wiemy, że należy do naturalnych i że jest większe lub równe od \(\displaystyle{ i}\). To może być przecież każda liczba naturalna, dlatego tak potraktowałem te zbiory.

[Jan Kraszewski]

to w takim razie nie rozumiem, co zapisałeś.

No i to jest Twój problem... Z tego samego powodu nie ogarniasz wyjściowego zadania.

Jak ten przedział ogranicza \(\displaystyle{ n}\), jeżeli nie jest ustalone? Wiemy, że należy do naturalnych i że jest większe lub równe od \(\displaystyle{ i}\). To może być przecież każda liczba naturalna, dlatego tak potraktowałem te zbiory.

No i to właśnie JEST każda liczba naturalna \(\displaystyle{ \ge i}\) i dlatego to jest RODZINA przedziałów - dla każdego \(\displaystyle{ n}\) dostajesz jeden przedział z tej rodziny (skąd się u Ciebie wziął zbiór liczb, do tego naturalnych, ciężko dojść...). Pisząc nieco nieformalnie

\(\displaystyle{ A_i=\{[i,i], [i,i+1],[i,i+2], [i,i+3],...\}}\)

JK

PS. Najwyraźniej nie rozumiesz zapisu zbioru przy pomocy operacji.

[tukanik]

Ok, teraz już wiem co będą zawierać zbiory z rodziny \(\displaystyle{ A_i}\)
np. \(\displaystyle{ A_1 = \{ [1,1] , [1,2] ,... [1,n] \}}\)
\(\displaystyle{ A_2 = \{ [2,2], ...,[2,n] \}}\)
W takim razie przecięcie wszystkich zbiorów z \(\displaystyle{ A_i}\) będzie element \(\displaystyle{ n.}\)

[Jan Kraszewski]

Ok, teraz już wiem co będą zawierać zbiory z rodziny \(\displaystyle{ A_i}\)
np. \(\displaystyle{ A_1 = \{ [1,1] , [1,2] ,... [1,n] \}}\)
\(\displaystyle{ A_2 = \{ [2,2], ...,[2,n] \}}\)

Trochę lepiej, ale dalej źle. Te zbiory są nieskończone, a \(\displaystyle{ n}\) jest zmienną, która przebiega wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ \ge i}\). Jeżeli zatem mielibyśmy stosować ten ułomny sposób zapisu "z kropkami", to napisalibyśmy

\(\displaystyle{ A_1 = \{ [1,1] , [1,2] ,... [1,n],... \}\\
A_2 = \{ [2,2], ...,[2,n],... \}.}\)

W takim razie przecięcie wszystkich zbiorów z \(\displaystyle{ A_i}\) będzie element \(\displaystyle{ n.}\)

A to już w ogóle nie ma sensu.

JK

[tukanik]

no to przecięcie zbiorem pustym jest