Hipoteza Goldbacha

[yorgin]

A gdyby dołożyć warunki:
- elementy nie mogą być parzyste
- nie istnieje taki element, którego usunięcie sprawiłoby, że istnieje l. parzysta nierozkładalna na dwa składniki?

A to już tworzy problem, na który nie potrafię odpowiedzieć Nie jestem specjalistą od liczb pierwszych.

[Hassgesang]

Z całą pewnością zbiór liczb nieparzystych jest prawie dobry. Prawie, bo można z niego usunąć kilka elementów, a dalej liczby parzyste będą dawały się rozpisywać jako stosowne sumy. Ciekawe, ile najwięcej możemy z niego wyjąć.

Parę minut w Pythonie dały mi ciąg, który zaprowadził mnie do OEIS, dalej dowiedziałem się kilku ciekawych faktów. Ciąg Ulama (\(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ a_2}\) są ustalone, następny wyraz ciągu to najmniejsza liczba naturalna niedająca zapisać się jako suma dwóch różnych mniejszych wyrazów) wydaje się być w porządku. Schmerl i Spiegel dowiedli, że jeżeli \(\displaystyle{ (a_1,a_2) = (2, 2k+1)}\) dla całkowitego \(\displaystyle{ k \ge 2}\), to w całym ciągu są tylko dwie liczby parzyste. Do zaakceptowania, w końcu \(\displaystyle{ 2 \in \mathbb{P}}\).

[yorgin]

Coś o liczbach pierwszych:

[witkal77]

Jesli zainteresują Cię moje przemyślenia na temat rozmieszczenia liczb pierwszych to proszę bardzo.
Wydaję mi się, że wiele złego na nasze wyobrażenie jak rozmieszczone są liczby pierwsze robi z reszta słuszne TW.Bertranda-Czebyszewa.Wiesz o co chodzi więc nie cytuję. Sugeruję ono, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) "dziura miedzy kolejnymi liczbami pierwszymi może wynosić wielkość porównywalną z \(\displaystyle{ n}\).
Nic bardziej mylnego. Otóż okazuję się, że dla \(\displaystyle{ n}\) dązacego do nieskończoności granica ilorazu funkcji \(\displaystyle{ \pi}\) zliczajacej liczby pierwsze w przedziale \(\displaystyle{ (n,2n)}\) do funkcji \(\displaystyle{ \pi}\) zliczajacej liczby pierwsze w przedziale \(\displaystyle{ (1,n)}\) dązy do \(\displaystyle{ 1}\) lewostronnie. Jeśli nawet to co napisałem nie jest prawdą to ta granica jest liczbą bardzo zblizoną do \(\displaystyle{ 1}\). Co z tego wynika ,liczby pierwsze rozmieszczone są co prawda nieregularnie ale pojawiajace się zagęszczenia lub dziury to jedynie "zmarszczki " na znanej funkcji \(\displaystyle{ \pi}\). Oczywiście mozemy pomyśleć dowolny odstęp między liczbami pierwszymi ale odbywa się to dla liczb dużo większych niż pomyślany odstęp.

[Hassgesang]

Nie mogę zgodzić się co do postulatu Bertrandta. Cytat z Wikipedii:

Udowodniono również, że

\(\displaystyle{ \forall_{n>5}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant2.}\)
\(\displaystyle{ \forall_{n>8}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant3.}\)
\(\displaystyle{ \forall_{n>14}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant4.}\)
\(\displaystyle{ \forall_{n>20}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant5.}\)

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje "odpowiednia wartość", którą można wpisać pod kwantyfikatorem. Patrz Liczby pierwsze Ramanujana

Dla dostatecznie dużych argumentów możemy przybliżyć \(\displaystyle{ \pi(n)}\) logarytmem całkowym \(\displaystyle{ li(n)}\), jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach, to rzeczywiście \(\displaystyle{ f(n) = \frac{li(2n)-li(n)}{li(n)}}\) dąży do jedynki (nie wiem, co rozumiesz przez lewostronnie, ale jest to funkcja malejąca dla \(\displaystyle{ n>2}\)).

[witkal77]

Lewostronnie oznacza, że wartości które przyjmuje są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\).
Czegoś nie rozumiem skoro maleje i dąży do \(\displaystyle{ 1}\) to by świadczyło, że gęstość liczb pierwszych rośnie
ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\) a to nieprawda. Ale może czegoś nie ogarniam.

[Hassgesang]

Mówisz o funkcji \(\displaystyle{ f(n)}\)? Jeżeli tak, to wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f(n)= \frac{li(2n)}{li(n)} -1}\), licznik rośnie wolniej niż mianownik, i nie jest to sprzeczne z intuicją.

[witkal77]

Policz to w praktycznie bo się chyba nie rozumiemy.

-- 29 maja 2013, o 23:14 --

Prosty przykład .
Ilość liczb pierwszych dla \(\displaystyle{ n(1,1000)=168}\)
Ilość liczb pierwszych dla \(\displaystyle{ n(1000,2000)=135}\)
Iloraz \(\displaystyle{ 0,803...}\)
Ilość liczb pierwszych dla \(\displaystyle{ n(1,10000)=1229}\)
Ilość liczb pierwszych dla \(\displaystyle{ n(10000,20000)=1033}\)
Iloraz \(\displaystyle{ 0,840...}\)
Przecież to rośnie!

[Hassgesang]

Rzeczywiście, było trochę późno i do rachunków wkradł się błąd, tzn. badałem zachowanie \(\displaystyle{ 1/f(x)}\) zamiast właściwej funkcji. Mój błąd.

Oczywiście mozemy pomyśleć dowolny odstęp między liczbami pierwszymi ale odbywa się to dla liczb dużo większych niż pomyślany odstęp.

Co rozumiesz przez dużo większy? Sondow pokazał w swojej pracy, że \(\displaystyle{ R_n}\) (liczba pierwsza Ramanujana) nie rośnie tak szybko: \(\displaystyle{ 2n \ln(2n) < R_n < 4n \ln(4n)}\). Szybko rośnie silnia, albo funkcja wykładnicza, ale nie \(\displaystyle{ R_n}\). Pracę można przeczytać .

To znaczy, że liczby pierwsze które są a których nie poznamy wszystkich dzięki Goldbachowi tworzą zbiór liczb parzystych a te ktore pozostaną to złożone nieparzyste.

Dlaczego nie poznamy wszystkich liczb pierwszych? Nie mamy pewności, czy ktoś nie stworzy wzoru ciągu / wzorów kilku ciągów, których kolejne wyrazy będą dawały same liczby pierwsze. Dotychczas nie odkryliśmy czegoś takiego, co nie znaczy, że nie istnieje.

[JakimPL]

Takie coś istnieje, tyle że pewnie nie odpowiada Twoim żądaniom:

\(\displaystyle{ p_n = \sum _{k=1}^{2^n} k \left\lfloor \frac{1}{1+\left|n-\left(\sum _{j=1}^k \left\lfloor \cos ^2\left(\frac{\pi((j-1)!+1)}{j}\right)\right\rfloor \right) \left\lfloor \cos ^2\left(\frac{\pi ((k-1)!+1)}{k}\right)\right\rfloor \right|}\right\rfloor}\)

[Hassgesang]

Jasne, że istnieje, tylko nie wyobrażam sobie użycia tego...
Więcej "wzorów" można znaleźć na , ale niestety żaden z nich nie jest "easily computable", widziałem kiedyś w Delcie takiego potwora.

[EDIT2] Wygrzebany. \(\displaystyle{ p_n=2+ \sum_{j=2}^{2^n} \left(\left\lfloor\frac{n-1}{ \sum_{m=2}^{j} \left\lfloor\frac{1} { \sum_{k=2}^{m} \left\lfloor1-\frac{m}{k}+\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor\right\rfloor } \right\rfloor} \right\rfloor-\left\lfloor\left| \frac{n-1}{ \sum_{m=2}^{j} \left\lfloor\frac{1} { \sum_{k=2}^{m} \left\lfloor1-\frac{m}{k}+\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor\right\rfloor } \right\rfloor}-1\right|\right\rfloor\right)}\)

[witkal77]

Wszystko to, co ostatnio piszesz to udowodnione ograniczenia z dołu. Ja zauważam, że ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\) ilość liczb w przedziale \(\displaystyle{ \left( n,2n\right)}\) wrasta nadproporcjonalnie i ten iloraz dąży do \(\displaystyle{ 1}\).
Jeśli chodzi o pytanie: co oznacza dużo większy to odpowiem przewrotnie tak jak stan finansów światowych do mojego portfela. Np. dla \(\displaystyle{ n=10000}\) największy odstęp to \(\displaystyle{ 36}\) a dla \(\displaystyle{ n=100000}\) największy odstęp to \(\displaystyle{ 72}\).
Ponieważ odstęp rośnie dużo wolniej niż \(\displaystyle{ n}\) więc jeśli pomyślisz dowolny odstęp to miej świadomość jak ogromne muszą być to liczby względem odstępu. To miałem na myśli.
Kolejny ciekawy problem z tym związany: to czy istnieje skończona czy nieskończona liczba liczb pierwszych bliźniaczych. Matematycznie nie rozstrzygnięte ale w dziale "dyskusje matematyczne" możemy się pozastanawiać. Ja twierdzę, że liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, ponieważ gdyby było inaczej to również liczby o odstępach \(\displaystyle{ 4,6,8...}\) powinny się skończyć co prowadzi do wniosku, że i liczby pierwsze powinny się kiedyś skończyć. Ale wcale nie twierdzę, że mam rację.

[Hassgesang]

Jak z faktu, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele wynika to, że "liczb pierwszych odległych o 4 jest skończenie wiele" (dajmy na to) jest prawdziwym zdaniem?

Zhang Yitang opublikował ostatnio bardzo interesującą pracę. Nie mam pojęcia, czy została już zweryfikowana, ale z pewnością stanowi duży postęp w sprawie hipotezy o liczbach bliźniaczych.

[yorgin]

Jak z faktu, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele wynika to, że "liczb pierwszych odległych o 4 jest skończenie wiele" (dajmy na to) jest prawdziwym zdaniem?

Odpowiem za kogoś, kto podobno napisał pracę o liczbach pierwszych: Nie, dopóki tego nie udowodnisz.

Zhang Yitang opublikował ostatnio bardzo interesującą pracę. Nie mam pojęcia, czy została już zweryfikowana, ale z pewnością stanowi duży postęp w sprawie hipotezy o liczbach bliźniaczych.

Pokazał, że

\(\displaystyle{ \liminf\limits_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n)<7\cdot 10^7}\)

I zostało to już zweryfikowane, ma być drukowane w Annals of Mathematics o ile dobrze pamiętam.

A całkiem niedawno pojawił się też dowód słabej hipotezy Goldbacha (suma trzech liczb pierwszych).

[witkal77]

Myślę, że jeśli ktoś udowodni, że liczb bliźniaczych jest skończona ilość to pojawi się za chwilę podobny dowód o odstępach \(\displaystyle{ 4,6,8...}\) (chyba nie jest to myślenie wewnętrznie sprzeczne)
Natomiast jeśli liczb bliźniaczych jest niekończona ilość to liczb o odstępach \(\displaystyle{ 4,6,8}\) również co uratuje dowód o nieskończonej liczbie liczb pierwszych. W przeciwnym razie pojawi się problem.