Matura z matematyki 2013 - poziom podstawowy

[aquance]

To tez sie spytam

\(\displaystyle{ x+y+z=0\\
x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=0 / \cdot 2\\
2x^2+2y^2+2z^2+4xy+4xz+4yz=0\\
x^2+2xy+y^2+x^2+2xz+z^2+y^2+2yz+z^2=-2xy-2xz-2yz\\
(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2=-2(xy+xz+yz)}\)

i w tym miejscu komentarz ze lewa strona jest dodatnia albo rowna \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ xy+xz+yz}\) musi byc mniejsze lub rowne \(\displaystyle{ 0}\) zeby otrzymac to samo po prawej stronie

[Best of Both Worlds]

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0}\)
\(\displaystyle{ xy + xz + yz = - \frac{1}{2} (x+y) ^{2} - \frac{1}{2} (x+z) ^{2} - \frac{1}{2} (z+y) ^{2}}\)
Tak mniej więcej zrobiłem.

I co dalej? Na tym skończyłeś?

JK

Dodałem jeszcze:
\(\displaystyle{ xy + xz + yz \le 0}\)
I w kilku zdaniach opisałem, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia, a że tu stoi minus to będzie ujemna, lub jeśli w działanich wyjdzie 0 będzie zerem.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x \subset (- \infty; -1) \cup (2,5;+ \infty )}\)

Źle, z tego co wiem to tam wychodziło :
\(\displaystyle{ x \subset (- \infty; 1\rangle \cup \langle 2,5;+ \infty )}\)

No na pewno nie wychodziło z symbolem \(\displaystyle{ \subset}\) ...

JK

[kamil13151]

To i mój dowód oceńcie:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0}\)
\(\displaystyle{ xy + xz + yz = - \frac{1}{2} (x+y) ^{2} - \frac{1}{2} (x+z) ^{2} - \frac{1}{2} (z+y) ^{2}}\)
Tak mniej więcej zrobiłem.

No tak, wnioskowanie z formy \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)}\) jest zbyt trywialne

[Best of Both Worlds]

To i mój dowód oceńcie:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0}\)
\(\displaystyle{ xy + xz + yz = - \frac{1}{2} (x+y) ^{2} - \frac{1}{2} (x+z) ^{2} - \frac{1}{2} (z+y) ^{2}}\)
Tak mniej więcej zrobiłem.

No tak, wnioskowanie z formy \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)}\) jest zbyt trywialne

No ale jest ok? Robiłem to zadania na sam koniec i nie zastanawiałem się czy można to jeszcze uprościć czy nie

[Visioner69]

\(\displaystyle{ x^{2} + xy + y^{2}}\)
Trzeba bylo tak zostawic i napisac ze niepelny kwadrat sumy jest zawsze wiekszy od zera a w szczegolny m przypadku gdzie x=y=0 jest liczba zerowa, wtedy mysle ze by uznali.
A tu to nie wiem. Zreszta dla \(\displaystyle{ x=y=0}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^{2}}\)
nie jest wieksze
od \(\displaystyle{ xy}\)

@up

No tak, wnioskowanie z formy \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)}\) jest zbyt trywialne

Ja tak zrobilem

[Jan Kraszewski]

No ale jest ok?

Może być OK, choć to może zależeć od jakości komentarza, który napisałeś.

JK

[Dyzioo]

Jan Kraszewski - a co Pan sądzi o moim sposobie?

[Jan Kraszewski]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ xy + xz + yz \le 0}\)

I teraz podstawiam z:
\(\displaystyle{ xy + x(-x-y) + y(-x-y) \le 0}\)

\(\displaystyle{ -x^{2} -y^{2} - 2xy + xy \le 0}\)

\(\displaystyle{ -(x+y)^{2} + xy \le 0 | \cdot (-1)}\)

\(\displaystyle{ (x+y)^{2} - xy \ge 0}\)

I pod tym zapisem dałem komentarz: ponieważ kwadrat sumy dwóch liczb jest większy lub równy od iloczynu tych liczb to nierówność jest spełniona.

Czy dostanę full punktów za takie rozwiązanie?

Kto wie...

Przekształcasz tezę, ale to zapewne ujdzie. Natomiast na końcu powołujesz się na fakt "kwadrat sumy dwóch liczb jest większy lub równy od iloczynu tych liczb" bez jego uzasadnienia.

JK

[Ace]

Iile punktow strace jak w ostatnim zadaniu zamiast
\(\displaystyle{ V-9=\frac{336}{t+ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{336}{t}}\)
to zapisalem
\(\displaystyle{ V-9=\frac{336}{t+40}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{336}{t}}\)
Obliczenia mam w 100% poprawne.

[aquance]

A co z moim sposobem? Wiem, że troche przekombinowalem, ale niestety na sali nie wpadlem na duzo prostszy sposob

[kamil13151]

A co z moim sposobem? Wiem, że troche przekombinowalem, ale niestety na sali nie wpadlem na duzo prostszy sposob

Jest dobrze.

[Jan Kraszewski]

Iile punktow strace jak w ostatnim zadaniu zamiast
\(\displaystyle{ V-9=\frac{336}{t+ \frac{2}{3} }\\
V= \frac{336}{t}}\)
to zapisalem
\(\displaystyle{ V-9=\frac{336}{t+40}\\
V= \frac{336}{t}}\)
Obliczenia mam w 100% poprawne.

Podejrzewam, że dostaniesz 1 punkt (za drugie równanie). Dwa punkty są za poprawny układ równań.

JK

[cba]

Ja zrobiłem tak
\(\displaystyle{ (x+y+z)=0}\), więc
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ X ^{2}+y ^{2}+z^{2} \ge 0}\) dla każdej liczby należącej do rzeczywistych, więc jeśli \(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz}\)
\(\displaystyle{ xy+zy+zy \le 0}\)
Sprawdzi ktoś?

[mocniej]

Tylko małe pytanko. Czy za niewyciągnięcie w pierwiastku z ośmiu zabiorą jakieś punkty ?
A w zadaniu z dowodem, jeśli pod tą podaną w zadaniu zależnością napisałem mniej więcej taki komentarz:

Suma kwadratów trzech liczb rzeczywistych jest liczbą nieujemną, więc aby powyższe wyrażenie było równe zeru to wyrażenie \(\displaystyle{ 2xy + 2xz + 2yz}\) musi być mniejsze lub równe zeru, a że jest ono tożsame z \(\displaystyle{ xy + xz +yz}\), to teza jest prawdziwa.

to jak zostanie to ocenione ?