Mam drobny problem z tym zadaniem:
Udowodnij, ze kontinuum jest moca zbioru ciagów \(\displaystyle{ N \rightarrow N}\):
a) słabo rosnacych;
b) silnie rosnacych.
Czy ktoś ma jakieś pomysły?
Ukryta treść:
Dla podpunktu a) mogę wziąć bijekcje \(\displaystyle{ b_{j}=a_{j}-a_{j-1}}\) i \(\displaystyle{ b_0=a_0}\).
Gdzie \(\displaystyle{ a_j}\) to wyrazy ciągu w zadaniu.
Wszystkich ciągów \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ \aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}}\)
Korzystając ze wskazówki można rozważać ciągi \(\displaystyle{ (b_n)\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) a następnie dla każdego takiego ciągu zdefiniować ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) wzorem
\(\displaystyle{ a_k=\sum\limits_{l=0}^kb_l}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_k}\) jest ciągiem słabo rosnącym. Co więcej, powyższe utożsamienie wyznacza bijekcję między zbiorem ciągów zero-jedynkowych a podzbiorem ciągów słabo rosnących. A ponieważ tych pierwszych jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), a tych drugich co najwyżej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (gdyż nie może być ich więcej niż dowolnych ciągów), dostajemy łącznie, że musi być ich \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)