Udowodnij, ze kontinuum jest moca zbioru ciagów \(\displaystyle{ N \rightarrow N}\):
a) słabo rosnacych;
b) silnie rosnacych.
Czy ktoś ma jakieś pomysły?
Ukryta treść:
Moc zbioru ciągów
-
Myrthan
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 16 kwie 2010, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bliżej niż myślisz
- Pomógł: 3 razy
Moc zbioru ciągów
Mam drobny problem z tym zadaniem:
Udowodnij, ze kontinuum jest moca zbioru ciagów \(\displaystyle{ N \rightarrow N}\):
a) słabo rosnacych;
b) silnie rosnacych.
Czy ktoś ma jakieś pomysły?
Udowodnij, ze kontinuum jest moca zbioru ciagów \(\displaystyle{ N \rightarrow N}\):
a) słabo rosnacych;
b) silnie rosnacych.
Czy ktoś ma jakieś pomysły?
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Moc zbioru ciągów
Ja bym to zrobił tak:
Wszystkich ciągów \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ \aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}}\)
Korzystając ze wskazówki można rozważać ciągi \(\displaystyle{ (b_n)\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) a następnie dla każdego takiego ciągu zdefiniować ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) wzorem
\(\displaystyle{ a_k=\sum\limits_{l=0}^kb_l}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_k}\) jest ciągiem słabo rosnącym. Co więcej, powyższe utożsamienie wyznacza bijekcję między zbiorem ciągów zero-jedynkowych a podzbiorem ciągów słabo rosnących. A ponieważ tych pierwszych jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), a tych drugich co najwyżej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (gdyż nie może być ich więcej niż dowolnych ciągów), dostajemy łącznie, że musi być ich \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)
Wszystkich ciągów \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ \aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}}\)
Korzystając ze wskazówki można rozważać ciągi \(\displaystyle{ (b_n)\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) a następnie dla każdego takiego ciągu zdefiniować ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) wzorem
\(\displaystyle{ a_k=\sum\limits_{l=0}^kb_l}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_k}\) jest ciągiem słabo rosnącym. Co więcej, powyższe utożsamienie wyznacza bijekcję między zbiorem ciągów zero-jedynkowych a podzbiorem ciągów słabo rosnących. A ponieważ tych pierwszych jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), a tych drugich co najwyżej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (gdyż nie może być ich więcej niż dowolnych ciągów), dostajemy łącznie, że musi być ich \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)