Całka krzywoliniowa

[Czingisham]

Sprawdzic potencjalnosc całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę
krzywoliniową

\(\displaystyle{ \int_{2,1,3}^{1,-1,2}x \mbox{d}x +y^{2} \mbox{d}y+z \mbox{d}z}\)

Mógłby mi ktoś powiedzieć jak się robi tego typu zadania ?

[szw1710]

Najpierw wyznacz rotację pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{F}(x,y,z)=[x,y^2,z].}\) Zobacz czy jest równa zeru. TO podstawa. Czekam, na razie pracuję na komputerze.

[Czingisham]

Równa się zeru, czyli ma potencjał.

[szw1710]

Czy umiałbyś go wyznaczyć? Przypomnij sobie warunki, które definiują potencjał. Jeśli masz kłopot, pomogę, ale spróbuj sam. Jak widzisz, zadanie robimy etapami

[Czingisham]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U }{ \partial x}=x \ \frac{ \partial U}{ \partial y}=y^{2} \ \frac{ \partial U }{ \partial z}=z \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+ \phi(y,z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \phi(y,z) \Rightarrow \phi(y,z)=y^{2} \\ U=\frac{1}{2} x^{2}+y^{2}}\)

Chyba w porządku ?

[szw1710]

Nie. W trzeciej linii zapominasz o zróżniczkowaniu \(\displaystyle{ \phi}\) względem \(\displaystyle{ y.}\) Popraw się.

Wracam po kawie.

[Czingisham]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \frac{ \partial \phi(y,z) }{ \partial y} \\
\phi(y,z)=y^{2} + \psi(z) \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \psi(z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial z}= \frac{ \partial \psi(z)}{ \partial z} \\ \psi(z)=\frac{1}{2}z ^{2}+C \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \frac{1}{2} z^{2}+C}\)

[szw1710]

Tak. Szukamy jednego z potencjałów, więc można przyjąć \(\displaystyle{ C=0.}\) A teraz robimy coś podobnego do wzoru Newtona-Leibniza. Nasza całka ma wartość \(\displaystyle{ U(B)-U(A),}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) - punkt początkowy, \(\displaystyle{ B}\) - punkt końcowy. Nie pamiętam, ale chyba Krysicki pokazuje tę metodę.

Można zadanie zrobić inaczej, bardziej okrężnie. Potencjalność pola jest też warunkiem niezależności całki od drogi całkowania. Więc piszesz sobie równanie najprostszej linii łączącej dane punkty, czyli odcinka i całkujesz po nim. Całka po odcinku jest równa całce po każdej innej krzywej (gładkiej oczywiście). Zrób zadanie także i tą metodą i zobacz czy Ci wyjdzie to samo

Wolę metodę potencjałową.