Całka krzywoliniowa

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 00:39

Sprawdzic potencjalnosc całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę
krzywoliniową

\(\displaystyle{ \int_{2,1,3}^{1,-1,2}x \mbox{d}x +y^{2} \mbox{d}y+z \mbox{d}z}\)

Mógłby mi ktoś powiedzieć jak się robi tego typu zadania ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 wrz 2012, o 08:30

Najpierw wyznacz rotację pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{F}(x,y,z)=[x,y^2,z].}\) Zobacz czy jest równa zeru. TO podstawa. Czekam, na razie pracuję na komputerze.

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 09:00

Równa się zeru, czyli ma potencjał.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 wrz 2012, o 09:02

Czy umiałbyś go wyznaczyć? Przypomnij sobie warunki, które definiują potencjał. Jeśli masz kłopot, pomogę, ale spróbuj sam. Jak widzisz, zadanie robimy etapami

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 09:20

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U }{ \partial x}=x \ \frac{ \partial U}{ \partial y}=y^{2} \ \frac{ \partial U }{ \partial z}=z \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+ \phi(y,z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \phi(y,z) \Rightarrow \phi(y,z)=y^{2} \\ U=\frac{1}{2} x^{2}+y^{2}}\)

Chyba w porządku ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 wrz 2012, o 09:26

Nie. W trzeciej linii zapominasz o zróżniczkowaniu \(\displaystyle{ \phi}\) względem \(\displaystyle{ y.}\) Popraw się.

Wracam po kawie.

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 09:54

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \frac{ \partial \phi(y,z) }{ \partial y} \\
\phi(y,z)=y^{2} + \psi(z) \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \psi(z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial z}= \frac{ \partial \psi(z)}{ \partial z} \\ \psi(z)=\frac{1}{2}z ^{2}+C \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \frac{1}{2} z^{2}+C}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 wrz 2012, o 10:01

Tak. Szukamy jednego z potencjałów, więc można przyjąć \(\displaystyle{ C=0.}\) A teraz robimy coś podobnego do wzoru Newtona-Leibniza. Nasza całka ma wartość \(\displaystyle{ U(B)-U(A),}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) - punkt początkowy, \(\displaystyle{ B}\) - punkt końcowy. Nie pamiętam, ale chyba Krysicki pokazuje tę metodę.

Można zadanie zrobić inaczej, bardziej okrężnie. Potencjalność pola jest też warunkiem niezależności całki od drogi całkowania. Więc piszesz sobie równanie najprostszej linii łączącej dane punkty, czyli odcinka i całkujesz po nim. Całka po odcinku jest równa całce po każdej innej krzywej (gładkiej oczywiście). Zrób zadanie także i tą metodą i zobacz czy Ci wyjdzie to samo

Wolę metodę potencjałową.