Matura z matematyki 2012 - poziom rozszerzony

[Jan Kraszewski]

Przekształcając to, co miałem dane i to, co miałem otrzymać doszedłem do takiej postaci:

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=0,3-P(A' \cap B)}\)

No to jeszcze ważne jest, co i jak przekształcałeś.

A co Pan myśli na temat mojego rozwiązania zadania 11 (kilka postów wyżej) ?

Rozpatrywanie dwóch przypadków jest oczywiście zupełnie zbędne. Samo rozwiązanie może być uznane za wystarczające. Oczywiście poprawne rozumowanie wymagałoby uzasadnienia, dlaczego suma tych dwóch prawdopodobieństw jest mniejsza od jeden (tu kluczowe jest odwołanie się do rozłączności zbiorów \(\displaystyle{ A\cap B'}\) i \(\displaystyle{ A'\cap B}\)), ale być może rysunek wystarczy.

JK

[pitgot]

Dziękuję bardzo

[rerekumkum1]

Witam
Rozwiązałem zadanie 11 jak kolega kilka stron wcześniej, nikt mu nie odpisał czy to jest dobrze.
Rozwiązanie to jest typowo logiczne.

\(\displaystyle{ P\left( A \cap B'\right) = 0,7}\)

Z tego wynika, że

\(\displaystyle{ P\left( A\right) \ge 0,7}\)

Czyli

\(\displaystyle{ P\left( A'\right) \le 0,3}\)

A także \(\displaystyle{ P\left( B\right) \le 0,3}\)

Wiadomo, że iloczyn nie może być większy niż najmniejsza jego część czyli

\(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le 0,3}\)

Jak się pan na to zapatruje?
Pozdrawiam.

[michaszko]

Zad 10. Wyznaczyłem długości AB i BC, tylko odwrotnie przypisałem je do przyprostokątnej i przeciwprostokątnej, zapisałem to i na tej podstawie zrobiłem rysunek. I tak skończyłem obliczenia de facto (nie licząc desperackiej próby policzenia pola z Herona ).

Zad 11. Zrobiłem poprawny schemat Venna oraz nierówność na jego podstawie: \(\displaystyle{ P(A' \cap B) \le 1-P(A \cap B') - P(A \cap B)}\) Później już tylko błędy.

Czy będą jakieś punkty za to?

Uprzejmie ponawiam.

[Jan Kraszewski]

Witam
Rozwiązałem zadanie 11 jak kolega kilka stron wcześniej, nikt mu nie odpisał czy to jest dobrze.
Rozwiązanie to jest typowo logiczne.

\(\displaystyle{ P\left( A \cap B'\right) = 0,7}\)

Z tego wynika, że

\(\displaystyle{ P\left( A\right) \ge 0,7}\)

Czyli

\(\displaystyle{ P\left( A'\right) \le 0,3}\)

A także \(\displaystyle{ P\left( B\right) \le 0,3}\)

Wiadomo, że iloczyn nie może być większy niż najmniejsza jego część czyli

\(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le 0,3}\)

Jak się pan na to zapatruje?

Myślę, że może być, choć sformułowanie "iloczyn nie może być większy niż najmniejsza jego część" jest niezbyt fortunne.

Zad 10. Wyznaczyłem długości AB i BC, tylko odwrotnie przypisałem je do przyprostokątnej i przeciwprostokątnej, zapisałem to i na tej podstawie zrobiłem rysunek. I tak skończyłem obliczenia de facto (nie licząc desperackiej próby policzenia pola z Herona ).

Zad 11. Zrobiłem poprawny schemat Venna oraz nierówność na jego podstawie: \(\displaystyle{ P(A' \cap B) \le 1-P(A \cap B') - P(A \cap B)}\) Później już tylko błędy.

Czy będą jakieś punkty za to?

10. Nie bardzo rozumiem, co to znaczy "odwrotnie przypisałem je do przyprostokątnej i przeciwprostokątnej".

11. Najwyżej 1 pkt, choć tu jak zwykle wszystko zależy od klucza.

JK

[Darkness]

Chciałem przedstawić moje rozwiązania i dowiedzieć się ile moge za nie dostać pkt.
Zad.1
Zapisuje liczby \(\displaystyle{ {a,b,c,d}}\), ale nie zapisuje że należą do całkowitych. Po otrzymaniu dwóch rozwiązań przy liczbach niecałkowitych pisze sprzeczność i zostawiam jedno rozwiązanie. Czy dostanę max pkt?
Zad.3
Doprowadziłem równanie do postaci
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x-3\cos x+1=0}\)
Nie zapisałem że \(\displaystyle{ \cos x=t}\) tylko odrazu liczyłem delte. Czy dostanę max pkt?
Zad.6
Szukam punktów\(\displaystyle{ P=\left\{ \frac{m}{2}+ \frac{5}{2} ;m\right\}}\)

\(\displaystyle{ P\left\{ x;y\right\}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{m}{2}+ \frac{5}{2}}\) - wyznaczam \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ m=-1}\) i \(\displaystyle{ m=7}\)
i wychodzi mi że \(\displaystyle{ x \in \left\langle 2;6\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ y \in \left\langle -1;7\right\rangle}\)
Zaznaczam w układzie zbiór punktów P.
I teraz licze \(\displaystyle{ |PQ| ^{2}}\) min i max z Pitagorasa zaznaczając w układzie współrzędnych punkt \(\displaystyle{ P=\left\{ 2;-1\right\}}\) lub \(\displaystyle{ P=\left\{ 6;7\right\}}\) na osi \(\displaystyle{ OX}\) odpowiednio zaznaczając punkty \(\displaystyle{ C=\left\{ 2;0\right\}}\) i \(\displaystyle{ D=6;0}\) i zaznaczając punkt \(\displaystyle{ Q}\) Licząc z Pitagorasa odrazu otrzymuje \(\displaystyle{ |PQ| ^{2}}\). Wyniki są dobre tylko chodzi mi o waszą opinie na temat rozwiązania.
Zad.11
Zapisałem że \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=10x}\)

Rysując zbiory \(\displaystyle{ A \cap B'}\) i \(\displaystyle{ A' \cap B}\) pokazałem że są zawsze rozłączne i nie mają punktów wspólnych.
Zapisałem że \(\displaystyle{ P\left( A \cap B'\right) = 0,7= \frac{7x}{10x}}\)
I teraz opis słowny:
Skoro w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap B'}\) znajduje się \(\displaystyle{ 7x}\) elementów a zbiór ten nie posiada części wspólnej ze zbiorem \(\displaystyle{ A' \cap B}\) to w zbiorze \(\displaystyle{ A' \cap B}\) może znajdować się maksymalnie 3x elementów czyli \(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le \frac{3x}{10x}}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le 0,3}\)
Czy mogę liczyć na jakieś punkty za ten dowód?

[justyna143]

mam takie 2 pytanka
jak w ostatnim udowodniłam tylko że \(\displaystyle{ A\cap B\ge 0}\) to dostane pkt czy musi być jeszcze że mniejsze od 1?

i jak myślicie ile mogę dostać pkt za kombinatorykę jak wypisałam: 26111111, 34111111, 22311111 i rozpisałam jeden dobrze potem niepotrzebnie pomnożyłam tamte razy 2 no i wynik mam źle.

[miodzio1988]

mam takie 2 pytanka
jak w ostatnim udowodniłam tylko że \(\displaystyle{ A\cap B\ge 0}\) to dostane pkt czy musi być jeszcze że mniejsze od 1?

Tak to zapisałaś? Bez pstwa?

[justyna143]

no rozwinęłam to jak należy i doszłam do tego co zapisałam ( z P oczywiście)

[Jan Kraszewski]

mam takie 2 pytanka
jak w ostatnim udowodniłam tylko że \(\displaystyle{ A\cap B\ge 0}\) to dostane pkt czy musi być jeszcze że mniejsze od 1?

Nie bardzo wiem, za co miałabyś dostać punkty. Przecież udowodnić miałaś coś zupełnie innego.

i jak myślicie ile mogę dostać pkt za kombinatorykę jak wypisałam: 26111111, 34111111, 22311111 i rozpisałam jeden dobrze potem niepotrzebnie pomnożyłam tamte razy 2 no i wynik mam źle.

Ja bym stawiał na 1 pkt.

Zad.11
Zapisałem że \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=10x}\)

Rysując zbiory \(\displaystyle{ A \cap B'}\) i \(\displaystyle{ A' \cap B}\) pokazałem że są zawsze rozłączne i nie mają punktów wspólnych.
Zapisałem że \(\displaystyle{ P\left( A \cap B'\right) = 0,7= \frac{7x}{10x}}\)
I teraz opis słowny:
Skoro w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap B'}\) znajduje się \(\displaystyle{ 7x}\) elementów a zbiór ten nie posiada części wspólnej ze zbiorem \(\displaystyle{ A' \cap B}\) to w zbiorze \(\displaystyle{ A' \cap B}\) może znajdować się maksymalnie 3x elementów czyli \(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le \frac{3x}{10x}}\) stąd \(\displaystyle{ P\left( A' \cap B\right) \le 0,3}\)
Czy mogę liczyć na jakieś punkty za ten dowód?

Ciężko powiedzieć, bo dowód jest niepoprawny. Założyłeś sobie, że rozważane prawdopodobieństwo jest klasyczne, a to nieuprawnione założenie, niestety. Z drugiej strony dokonałeś pewnych spostrzeżeń, które można uznać za postęp w rozwiązywaniu zadania. Współczuję egzaminatorowi, który będzie to sprawdzał (no chyba, że klucz okaże się aż tak przewidujący...).

JK

[michaszko]

10. Nie bardzo rozumiem, co to znaczy "odwrotnie przypisałem je do przyprostokątnej i przeciwprostokątnej".

Dzięki. Chodzi o to, że napisałem, że trójkąt ma przeciwprostokątną 61 i przyprostokątne 22, zauważyłem, że coś jest bardzo "niehalo" zostawiłem zadanie, ale nie zdążyłem do niego wrócić. 1 pkt może będzie, co?

[Darkness]

Dzięki za odpowiedź w sprawie zad.11 cztery punkty do tyłu;/. A co z resztą?

[Jan Kraszewski]

Dzięki. Chodzi o to, że napisałem, że trójkąt ma przeciwprostokątną 61 i przyprostokątne 22, zauważyłem, że coś jest bardzo "niehalo" zostawiłem zadanie, ale nie zdążyłem do niego wrócić. 1 pkt może będzie, co?

Przeciwprostokątna? Przyprostokątne? A dlaczego uważasz, że ten trójkąt jest prostokątny?
Ale za obliczenie długości 1 pkt. może być.

Dzięki za odpowiedź w sprawie zad.11 cztery punkty do tyłu;/.

Niekoniecznie. Za to zadanie można dać od 1 pkt. (np. za zauważenie rozłączności) do nawet 4 pkt. (jak nie będziemy zwracali uwagi na niepoprawne dodatkowe założenie). Wszystko zależy od interpretacji klucza.

A co z resztą?

1. i 3. zapewne będzie max. W 6. nie będę oceniał, ale nie wygląda to jakoś źle.

JK

[Piog]

Czy mogą odjąć punkty za to, że nie potwierdziłem obliczeniami, że trzeci bok to 61 cm ?

[spec]

Witam, to mój pierwszy post na tym forum, dlatego przepraszam za ewentualne błędy w Latex-ie. Co powiecie na taki dowód w zadaniu 11?
Założenia:
\(\displaystyle{ A\cap B' = B\setminus A \Rightarrow P(A\cap B') = P(A\setminus B) = 0,7}\)
\(\displaystyle{ A'\cap B = A\setminus B \Rightarrow P(A'\cap B) = P(B\setminus A)}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B) \le 1}\)
Teza:
\(\displaystyle{ P(A'\cap B) \le 0,3}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A\cup B = A\setminus B + B\setminus A + A\cap B}\) - Zbiory rozłączne, więc
\(\displaystyle{ P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A\cap B)}\)
Więc
\(\displaystyle{ 1 \ge 0,7 + P(B\setminus A) + P(A\cap B)}\)
\(\displaystyle{ 0,3 - P(A\cap B) \ge P(A'\cap B)}\)
c.n.d. gdyż
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{A,B \subset \Omega} P(A\cap B) \ge 0}\)

I jeszcze zadanie 7
Założenia:
\(\displaystyle{ a + b \ge 0}\)
Teza:
\(\displaystyle{ a^{3} +b^{3} \ge a^{2}b + ab^{2}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ a^{3} +b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab +b^{2})}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ (a+b)(a^{2} - ab +b^{2}) \ge a^{2}b + ab^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a^{2} - ab +b^{2}) \ge ab(a+b)}\)
I Dla \(\displaystyle{ a+b = 0}\) Nierówność jest prawdziwa gdyż \(\displaystyle{ 0=0}\)
II Dla \(\displaystyle{ a+b \neq 0}\) ale z założeń \(\displaystyle{ a+b > 0}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a^{2} - ab +b^{2}) \ge ab(a+b) / (a+b)}\)
\(\displaystyle{ a^{2} - ab +b^{2} \ge ab}\)
\(\displaystyle{ a^{2} - 2ab +b^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\)
c.n.d. gdyż kwadrat różnicy dwóch liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemny

Czy dodanie że w zadaniu 7 przejścia są równoważne, jest konieczne?