Matura z matematyki 2012 - poziom rozszerzony

[witek1902]

kneefer, ja wyliczyłem skrajne punkty i podałem wartości, myślę, że to wystarczy, bo zadanie brzmiało: "Oblicz największą i najmniejszą wartość", a nie "Podaj \(\displaystyle{ m}\) , dla których wartość jest najmniejsza...

[Tmkk]

Ja zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0,7\\
P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\\}\)

\(\displaystyle{ P(A) = P(A \cap B) + 0,7\\
P(A) + P(B) \le 1\\
P(A \cap B) + 0,7 + P(B) \le 1\\}\)

\(\displaystyle{ 0,3 \ge P(B) + P(A \cap B) \ge P(B) - P(A \cap B) = P(A' \cap B)\\
P(A' \cap B) \le 0,3}\)

[witek1902]

Ostatnie zadanie to było chyba coś w tym stylu:
Wiedząc, że \(\displaystyle{ P(A \cap B')=0,7}\) wykaż, że \(\displaystyle{ P(B' \cap A ) \le 0,3}\)

[Patron]

I może ktoś wrzuci swój dowód do ostatniego?

\(\displaystyle{ P(A \cap B') = 0,7}\)
czyli
\(\displaystyle{ P(A) + P(B') - P(A \cup B') =0,7}\)
\(\displaystyle{ 1 - P(A') + 1 - P(B) - P(A \cup B') = 0,7}\)
\(\displaystyle{ 1,3 = P(A \cup B') + P(A') + P(B)}\)
\(\displaystyle{ 1,3 = P(A \cup B') + P(A' \cup B) + P(A' \cap B)}\)
\(\displaystyle{ 1,3 - P(A' \cap B) = P(A \cup B') + P(A' \cup B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B') \ge P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A' \cup B) \ge P(A')}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B') + P(A' \cup B) \ge P(A) + P(A')}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B') + P(A' \cup B) \ge 1}\)

zatem
\(\displaystyle{ 1,3 - P(A' \cap B) = P(A \cup B') + P(A' \cup B) \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 1,3 - P(A' \cap B) \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 0,3 \ge P(A' \cap B)}\)

[major37]

Kurde ja mam chyba źle z tymi liczbami gdyż zrobiłem tak że dwie ostatnie cyfry to \(\displaystyle{ 3 \cdot 4 \vee 4 \cdot 3 \vee 6 \cdot 2 \vee 2 \cdot 6}\) czyli są cztery możliwości. Pierwszą liczbę wybieramy na 7 sposobów bo dwie ostatnie są zarezerwowane i pierwsza nie może być zerem Itp. więc chyba zero punktów. I za ostatnie mam pewnie tylko jeden punkt a z tym polem trójkąta to mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{ab ^{3} \sqrt{a ^{2}+b ^{2} } }{2(a ^{2}+b ^{2} }}\). Resztę pewnie mam dobrze -- 9 maja 2012, o 13:23 --A z tą wartością największą i najmniejszą to wyszło że największa to 6..,25 a najmniejsza to 5..,25. Nie pamiętam cyfr w środku

[kneefer]

Pierwszą liczbę wybieramy na 7 sposobów bo dwie ostatnie są zarezerwowane i pierwsza nie może być zerem

Żadna nie może być zerem, by iloczyn był równy 12

[witek1902]

Tmkk, skąd założenie, że:
\(\displaystyle{ P(A) + P(B) \le 1}\) ?

[major37]

Ale to iloczyn wszystkich cyfr ma być 12 ? Czy iloczyn dwóch ostatnich 12 ?

[kamil13151]

Wychodzę od oczywistości:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)-P(A \cap B) \le 1 \\ (1) \ \ P(A \cup B)-0,7-P(A \cap B) \le 0,3}\)

Teraz założenie:
\(\displaystyle{ P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)=P(A \cup B)-P(B) \\ P(A \cup B)-P(B)=0,7 \\ P(B)=P(A \cup B) -0,7}\)
Wstawiam do (1) i mam:
\(\displaystyle{ P(B)-P(A \cap B)\le 0,3 \\ P(A' \cap B) \le 0,3}\)

Sprawdzi ktoś ?

[Eravier]

Nigdy nie byłem mocny z tych pierdół z ostatniego zadania. Nie spodziewałem się tego za bardzo na rozszerzeniu. Jak zrobiłem tak to mi uznają ?

\(\displaystyle{ P = P(A \cap B) + P(A' \cap B) + P(A \cap B') + P(A' \cap B')}\)
\(\displaystyle{ P = 1}\)
\(\displaystyle{ 1 = 0,7 + P(A' \cap B) + P(A \cap B) + P (A' \cap B')}\)
\(\displaystyle{ P(A' \cap B) = 0,3 - P(A \cap B) - P (A' \cap B')}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \le P(A) \le 1}\), to \(\displaystyle{ P(A' \cap B) \le 0,3}\)

[Orson]

Szkoda tylko, że rozwiązania nie były trudne do wymyślenia, trudne były natomiast same rachunki - zwłaszcza wykonywanie ich pod presją ubiegającego czasu i miejsca na kartce.

[maweave]

Ale to iloczyn wszystkich cyfr ma być 12 ? Czy iloczyn dwóch ostatnich 12 ?

wszystkich

[fart411]

Prawdopodobieństwo: Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ P(A' \cap B)=0,7}\) to \(\displaystyle{ P(A \cap B') \le 0,3}\)
Dowód: Udowodnij że jeśli \(\displaystyle{ a+b>0}\) to \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge a^{2}b+b^{2}a}\)

A tu nie było na odwrót? Wydaje mi się, że było tak: Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B')=0,7}\) to \(\displaystyle{ P(A' \cap B) \le 0,3}\)
Dowód z prawdopodobieństwa zrobiłem następująco: Napisałem, że\(\displaystyle{ P(A \cap B') = P(A \setminus B)=0,7}\)
\(\displaystyle{ P(A)-P(A \cap B) =0,7}\)
i z aksjomatu \(\displaystyle{ P(A \cup B) \le 1}\)
\(\displaystyle{ P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1}\)
\(\displaystyle{ P(B) \le 0,3}\)
i napisałem, że \(\displaystyle{ P(A \cap B') \le P(B) \le 0,3}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B') \le 0,3}\) co trzeba było udowodnić.

drugi dowód w ten sposób: \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge a^{2}b+b^{2}a}\)
\(\displaystyle{ a ^{3} - a ^{2} b - b ^{2} a + b ^{3}}\)
(\(\displaystyle{ a ^{2} - b ^{2} )(a-b) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (a-b) ^{2} (a+b) \ge 0}\) i komentarz, że skoro \(\displaystyle{ a+b \ge 0}\) to iloczyn kwadratu dowolnej liczby i \(\displaystyle{ a+b \ge 0}\) jest nieujemny.

Dobrze są przeprowadzone te dowody?

[Kacperdev]

Z prawdopodobieństwa wykazałem \(\displaystyle{ P\left( A' \cup B\right)=0,3}\) Czyli częśc wspólna tych samych zbiorów musi być mniejsza lub w szczególnym przypadku równa \(\displaystyle{ 0,3}\)

[witek1902]

fart411, pierwszy mam podobnie do Ciebie, w drugim kombinowałem trochę inaczej