Matematyka rozszerzona - jakie zadania na maturze?

[Marcinek665]

Nierówność do udowodnienia i nietrywialna plani. Reszta jakaś banalna.

[pawellogrd]

TPB wątpię, by znalazło się zadanie tekstowe, które miałoby dotyczyć ułożenia równania. Prędzej zadanie tekstowe będzie dotyczyć prawdopodobieństwa.

[szprot_w_oleju]

Ja stawiam że w pierwszym będzie coś typu: która z liczb jest większa.

[TPB]

Życzę powodzenia wszystkim, którzy piszą w tym roku maturę.

[kriegor]

Marcinek665, nietrywialna plani? to matura a nie olimpiada

[Qnip]

Jak rozwiązać nierówność którą podał norwimaj?

[adambak]

Qnip, z AM-GM dla ciągu liczb \(\displaystyle{ \langle a,b,b,b \rangle}\).

ode mnie fajna kombi:
Znajdź liczbę ciągów \(\displaystyle{ \langle A_1,...,A_k \rangle}\) takich, że \(\displaystyle{ A_i \subseteq \left\{ 1,...,n\right\}}\) dla \(\displaystyle{ 1\le i\le k}\) oraz \(\displaystyle{ \left| A_1 \cap ... \cap A_k\right|=r}\).

[Piog]

Możesz jaśniej powiedzieć? Najlepiej jakby ktoś rozpisał to

[Qnip]

Zadania chyba trochę odbiegają od poziomu matury rozszerzonej

adambak, da się to zadanie rozwiązać bardziej 'maturalnym' sposobem?

[kamil13151]

Da.

\(\displaystyle{ (a+3b)^4\ge256ab^3}\)
Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) mamy równość. Po wyciągnięciu znów to samo zauważamy i możemy doprowadzić do postaci: \(\displaystyle{ \left( a-b\right)^2\left( \frac{a^2}{81}+ \frac{14ab}{81}+b^2 \right) \ge 0}\). Co jest oczywiste. No, ale AM-GM to się samo nasuwa

[norwimaj]

To co napisał kamil13151, jest naturalnie maturalne. Gdyby ktoś nie widział od razu że można wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\), to można podzielić przez \(\displaystyle{ b^4}\) i otrzymać wielomian zmiennej \(\displaystyle{ \frac ab}\). Wtedy można dalej zgadywać pierwiastki wymierne.

Ze średniej arytmetycznej i geometrycznej jest chyba najprościej, ale zachęcam także do wymyślenia rozwiązania za pomocą nierówności Bernoulliego. Sposób dłuższy, ale całkiem elegancki.

[Qnip]

Niestety nadal nie rozumiem. Skąd wiecie żeby wyłączyć akurat\(\displaystyle{ (a-b)}\)? Ponadto czy mówiąc o AM-GM macie na myśli ? Wątpię by takiego typu zadanie pojawiło się na maturze, zapomnieliście jaki to jest poziom

[norwimaj]

Qnip,

1. napisałem wyżej, jakie jest standardowe (maturalne) podejście gdy nie wiadomo co można wyłączyć,
2. nie trzeba znać ogólnej nierówności o średnich, bo wystarczy \(\displaystyle{ x+y\ge2\sqrt{xy}}\), czyli jednak poziom liceum (chyba nawet podstawowy).

[Qnip]

Pytam bardziej z ciekawości skąd wiecie żeby akurat wyłączyć \(\displaystyle{ (a-b)}\)

[kamil13151]

To może jaśniej, mamy wielomian dwóch zmiennych \(\displaystyle{ W(a,b)=(a+3b)^4-256ab^3}\). Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) mamy \(\displaystyle{ W(a,b)=0}\).