Konkurs matematyczny Politechniki Warszawskiej.

[tkrass]

\(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+4x+5=(x^2+x)^2 + 2(x+1)^2 + 3}\).

[kamil13151]

tkrass, cwane Dzięki, a czy moja próba rozwiązania by była poprawna? Czy da się to udowodnić przy pomocy pochodnej?

[tkrass]

Co do twojej próby rozwiązania, to nie bardzo ją widzę.

Użyć pochodnej pewnie się da, jak się bardzo chce, np.:
\(\displaystyle{ f(x):=x^4+2x^3+3x^2+4x+5}\), wtedy
\(\displaystyle{ f'(x)=4x^3+6x^2+6x+4=2(x+1)(2x^2+x+2)=2(x+1)(2(x+ \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{8})}\),
zatem \(\displaystyle{ f'(x)<0}\) dla \(\displaystyle{ x<-1}\), \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\). W takim razie funkcja przyjmuje minimum dla argumentu \(\displaystyle{ -1}\), a \(\displaystyle{ f(-1)=3}\), więc funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

[pawelsuz]

Sylwek kiedyś pisał o rozwiązaniu które podobno dało zwycięzcy pierwsze rozwiązanie bo było kilka maxów i wybrali gościa który rozwiązał to za pomocą nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ x^6+1+1+1+1+1 \ge 6 \sqrt[6]{x^6}=6x}\)
Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x^6=1}\)

[me123]

może ktoś wie jednak jak zrobić tę nierówność z tegorocznego finału:
\(\displaystyle{ (x-2) ^{x ^{4}-6x ^{3} +9x ^{2} -6x+8 } >1}\)
i by się podzielił rozwiązaniem?

[Marcinek665]

Pozwolę sobie odświeżyć temat, ponieważ etap internetowy się zakończył i trwa sprawdzanie ostatnich prac. Kto z forumowiczów bierze udział?

[ziomalexio]

98 punktów czyli jadę na finał ;P

[aaes]

Prawdopodobnie też się dostałam. Przygotowujecie się jakoś specjalnie do tego finału?

[Marcinek665]

Nie . Co ma być, to będzie.

[aaes]

Będąc na humanie, raczej nie mogę zdać się na los.

[bakala12]

Ja również jadę na finał. Powodzenia wszystkim.

[pio314]

Ja też będę. Powodzenia

[bakala12]

Mam pytanie odnośnie zadania pierwszego z finału z ubiegłego roku. Przypomnę jego treść:
Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \left( x-2\right) ^{x^{4}-6x^{3}+9x^{2}-6x+8} >1}\)
Najbardziej interesuje mnie dziedzina tej nierówności.

[ziomalexio]

Dziedzina to wszystkie x (jeśli o to ci chodzi), a rozwiązanie \(\displaystyle{ (- \infty , 1) \cup (4, + \infty )}\), mi tak wyszło. gorzej z zadaniami 3, 4 i 5 których nie mogę w ogóle ruszyć. Jakaś pomoc, wskazówka?

[kubek1]

Dziedzina to wszystkie x (jeśli o to ci chodzi), a rozwiązanie \(\displaystyle{ (- \infty , 1) \cup (4, + \infty )}\), mi tak wyszło. gorzej z zadaniami 3, 4 i 5 których nie mogę w ogóle ruszyć. Jakaś pomoc, wskazówka?

Dla \(\displaystyle{ x=2}\) mamy tam \(\displaystyle{ 0^0}\), więc będzie wszystko oprócz 2