[MIX] Obóz OM - Zwardoń 2009

[lukasz_650]

Oto wszystkie zadania, które posiadam. Są jeszcze zadania grupy starszej, ale niestety do niej nie należałem i nie mam ich. Życzę miłego rozwiązywania


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 26 maja 2009 r. (pierwszy dzień)

Zadanie 1.
Na każdym polu ustalonej przekątnej szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) stoi pionek. Ruch polega na wybraniu dowolnych dwóch pionków nie znajdujących się w dolnym wierszu i przesunięciu każdego z nich o jedno pole w dół. Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) istnieje skończony ciąg ruchów przesuwający wszystkie pionki do dolnego wiersza.

Zadanie 2.
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\) oraz liczby całkowite \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{p}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{p}}\). Wykazać, że istnieją \(\displaystyle{ 1 \leqslant i < j \leqslant p}\) takie, że \(\displaystyle{ p | a_{i} - a_{j}}\) lub \(\displaystyle{ p | b_{i} - b_{j}}\) lub \(\displaystyle{ p | a_{i}b_{i} - a_{j}b_{j}}\).

Zadanie 3.
Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}=2}\).
Udowodnić, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ ab+bc+ca\leqslant\frac{3}{2}}\).

Zadanie 4.
Okręgi \(\displaystyle{ \omega_{1}}\), \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{3}}\) są styczne wewnętrznie do większego okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) odpowiednio w parami różnych punktach \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest wspólną styczną zewnętrzną okręgów \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{2}}\), prosta \(\displaystyle{ l}\) - okręgów \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{3}}\), zaś prosta \(\displaystyle{ m}\) - okręgów \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{3}}\). Proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\) - w punkcie \(\displaystyle{ Y}\), zaś \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) - w punkcie \(\displaystyle{ Z}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ AX}\), \(\displaystyle{ BY}\) i \(\displaystyle{ CZ}\) przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe.


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 27 maja 2009 r. (drugi dzień)

Zadanie 5.
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\) prowadzące ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{Q_{+}}}\) liczb wymiernych dodatnich w zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) liczb całkowitych, które spełniają następujące warunki:
\(\displaystyle{ f(x) = f(\frac{1}{x}), \quad x \in \mathbb{Q_{+}}}\),
\(\displaystyle{ (x+1)f(x-1) = xf(x), \quad x \in \mathbb{Q_{+}}, \quad x>1}\).

Zadanie 6.
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB>CD}\) i \(\displaystyle{ BC>AD}\), jest wpisany w okrąg. Punkty \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) leżą na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\), przy czym \(\displaystyle{ AX=CD}\) i \(\displaystyle{ CY=AD}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ XY}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \angle AMC=90^{\circ}}\).

Zadanie 7.
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>2}\). Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ n}\), dla której z każdego zbioru \(\displaystyle{ n}\) kwadratów liczb całkowitych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ p}\) można wybrać niepusty podzbiór o iloczynie elementów dającym resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\).

Zadanie 8.
Dana jest liczba niewymierna \(\displaystyle{ \alpha}\). Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych \(\displaystyle{ (p, q)}\) takich, że \(\displaystyle{ q>0}\) oraz zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ | \alpha - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{2}}}\).


Zawody drużynowe
Zwardoń, 28 maja 2009.

Zadanie D1.
Liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+...+\frac{1}{1+x_{n}}=1}\).
Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{n}} \geqslant (n-1)(\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}})}\).

Zadanie D2.
W trójkącie nierównoramiennym \(\displaystyle{ ABC}\) środkowa \(\displaystyle{ AM}\) przecina okrąg wpisany w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Na okręgu wybrano takie punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\), że proste \(\displaystyle{ PX}\), \(\displaystyle{ QY}\) i \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe. Proste \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AQ}\) przecinają prostą \(\displaystyle{ BC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ BK=CL}\).

Zadanie D3.
\(\displaystyle{ (n,k)}\)-turniejem nazywamy turniej składający się z \(\displaystyle{ k}\) rund, w którym bierze udział \(\displaystyle{ n}\) graczy oraz spełniający warunki:
(i) Każdy gracz gra w każdej rundzie i każdych dwóch graczy spotyka się co najwyżej raz
(ii) Jeśli gracz \(\displaystyle{ A}\) spotyka gracza \(\displaystyle{ B}\) w rundzie \(\displaystyle{ i}\), gracz \(\displaystyle{ C}\) spotyka gracza \(\displaystyle{ D}\) w rundzie \(\displaystyle{ i}\), gracz \(\displaystyle{ A}\) spotyka gracza \(\displaystyle{ C}\) w rundzie \(\displaystyle{ j}\), to gracz \(\displaystyle{ B}\) spotyka gracza \(\displaystyle{ D}\) w rundzie \(\displaystyle{ j}\).
Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (n,k)}\) liczb naturalnych, dla których istnieje \(\displaystyle{ (n,k)}\)-turniej.

Zadanie D4.
Dany jest nierozkładalny wielomian \(\displaystyle{ P}\) o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że dla każdego \(\displaystyle{ r \in \mathbb{N}}\) istnieje \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) o tej własności, że istnieją różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, ..., p_{r}}\) takie, że \(\displaystyle{ p_{i}}\) dzieli \(\displaystyle{ P(k)}\), ale \(\displaystyle{ p^{2}_{i}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ P(k)}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., r}\).
Uwaga: Wielomian \(\displaystyle{ P}\) nazywamy nierozkładalnym, jeśli dla dowolnych wielomianów \(\displaystyle{ Q, R}\) o współczynnikach całkowitych zachodzi implikacja: jeżeli \(\displaystyle{ P=QR}\), to \(\displaystyle{ Q \equiv \pm 1}\) lub \(\displaystyle{ R \equiv \pm 1}\).


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 29 maja 2009 r. (trzeci dzień)

Zadanie 9.
Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\) i liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}}\) spełniające warunek
\(\displaystyle{ (a_{1}+a_{2}+...+a_{n}) (\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}) \leqslant (n+\frac{1}{2})^{2}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ max\lbrace a_{1},a_{2},..., a_{n} \rbrace \leqslant 4 min\lbrace a_{1},a_{2},..., a_{n} \rbrace}\).

Zadanie 10.
Okręgi \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) są styczne wewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą na ich wspólnej stycznej, przy czym punkt \(\displaystyle{ P}\) leży między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są odpowiednio przecięciem stycznej z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) ze styczną z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) oraz przecięciem stycznej z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) ze styczną z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ CA+CB=DA+DB}\).

Zadanie 11.
Wyznaczyć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której istnieją parami różne zbiory \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}, ..., S_{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ | S_{i} \cup S_{j} | \leqslant 2004}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant n}\) oraz \(\displaystyle{ S_{i} \cup S_{j} \cup S_{k} = \lbrace 1, 2, ..., 2008 \rbrace}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leqslant i < j < k \leqslant n}\).

Zadanie 12.
Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (a, b)}\) liczb naturalnych takich, że \(\displaystyle{ a \neq b}\), \(\displaystyle{ a, b > 1}\) oraz \(\displaystyle{ b^{b}+a|a^{a}+b}\).


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 30 maja 2009 r. (czwarty dzień)

Zadanie 13.
Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg. Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ BE}\), \(\displaystyle{ CF}\) przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA}\).

Zadanie 14.
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\). Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych postaci \(\displaystyle{ n 2^{k} - 7}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą.

Zadanie 15.
\(\displaystyle{ S}\) jest zbiorem trzyelementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \lbrace 1, 2, ..., n \rbrace}\) o tej własności, że jeśli \(\displaystyle{ A, B \in S}\) oraz \(\displaystyle{ A \neq B}\), to \(\displaystyle{ |A \cap B| \leqslant 1}\). Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza maksymalną możliwą ilość zbiorów w \(\displaystyle{ S}\). Wykazać nierówności
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-2)}{6} \leqslant f(n) \leqslant \frac{n(n-1)}{6}}\).

Zadanie 16.
Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ x^{2009} - x + 3}\) jest nierozkładalny na iloczyn niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych.


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 1 czerwca 2009 r. (piąty dzień)

Zadanie 17.
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ n^{2009} + n + 1}\) jest liczbą pierwszą.

Zadanie 18.
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ x+y+z=9, \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=33}\).
Wyznaczyć wszystkie wartości, jakie może przyjmować liczba \(\displaystyle{ xyz}\).

Zadanie 19.
W państwie jest \(\displaystyle{ 2009}\) miast. Wiadomo, że z każdego miasta wychodzą co najmniej \(\displaystyle{ 93}\) drogi i że z każdego miasta da się dojechać do każdego innego (niekoniecznie bezpośrednio). Wykazać, że z każdego miasta da się dojechać do każdego innego używając co najwyżej \(\displaystyle{ 62}\) różnych dróg.

Zadanie 20.
Punkty \(\displaystyle{ A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}}\) leżą na jednym okręgu, przy czym prosta \(\displaystyle{ AA^{\prime}}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ BC}\), prosta \(\displaystyle{ BB^{\prime}}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ CA}\), a prosta \(\displaystyle{ CC^{\prime}}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na tym samym okręgu, a punkty \(\displaystyle{ A^{\prime\prime}}\), \(\displaystyle{ B^{\prime\prime}}\) oraz \(\displaystyle{ C^{\prime\prime}}\) są odpowiednio przecięciem prostych \(\displaystyle{ DA^{\prime}}\) z \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ DB^{\prime}}\) z \(\displaystyle{ CA}\) oraz \(\displaystyle{ DC^{\prime}}\) z \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A^{\prime\prime}}\), \(\displaystyle{ B^{\prime\prime}}\), \(\displaystyle{ C^{\prime\prime}}\) oraz ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leżą na jednej prostej.


Zawody indywidualne - grupa młodsza
Zwardoń, 2 czerwca 2009 r. (szósty dzień)

Zadanie 21.
Wyznaczyć wszystkie liczby wymierne \(\displaystyle{ a, b > 0}\), dla których \(\displaystyle{ a^{b} b^{a} = 1}\).

Zadanie 22.
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n \geqslant 3}\), dla których \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny jest przekrojem ośmiościanu foremnego pewną płaszczyzną.

Zadanie 23.
Skoczek szachowy stoi w lewym górnym rogu szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ 4 \times n}\). Rozstrzygnąć dla jakich \(\displaystyle{ n}\) skoczek może poruszać się tak, by na każde pole szachownicy wejść dokładnie raz i zakończyć w lewym górnym rogu.

Zadanie 24.
Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n}\) o tej własności, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{n}}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) funkcji okresowych.


Mecz matematyczny
Zwardoń, 3 czerwca 2009r.

Zadanie M1.
Odejmowacz i Dodawacz grają w następującą grę: dany jest ciąg liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < ... < a_{n}}\). Ruch Dodawacza polega na dodaniu do pierwszej liczby w ciągu jednej z pozostałych liczb i przestawieniu jej na koniec. Ruch Odejmowacza polega na odjęciu od pierwszej liczby jednej z pozostałych liczb tak, by otrzymany wynik był nieujemny i przestawieniu otrzymanej liczby na koniec. Jeżeli Odejmowacz nie może wykonać ruchu, przestawia liczbę na koniec bez zmieniania jej. Odejmowacz wygrywa, jeżeli po jednym z jego ruchów w ciągu występuje liczba \(\displaystyle{ 0}\). Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\) i wszystkie ciągi \(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < ... < a_{n}}\), dla których Odejmowacz ma strategię wygrywającą.

Zadanie M2.
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ n \geqslant 3}\) punktów płaszczyzny \(\displaystyle{ S}\), z których żadne trzy nie są współliniowe. Wykazać, że istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ T}\) składający się z \(\displaystyle{ 2n - 5}\) punktów płaszczyzny, że każdy trójkąt wyznaczony przez \(\displaystyle{ 3}\) różne punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) zawiera punkt ze zbioru \(\displaystyle{ T}\).

Zadanie M3.
Dany jest graf \(\displaystyle{ G}\) o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach i \(\displaystyle{ m}\) krawędziach. Podzbiór wierzchołków grafu \(\displaystyle{ G}\) nazywamy niezależnym jeśli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru nie są połączone krawędzią. Dowieść, że w zbiorze wierzchołków grafu \(\displaystyle{ G}\) istnieje zbiór niezależny o mocy nie mniejszej niż \(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{2m+n}}\).

Zadanie M4.
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb{R^{+}}}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ f(x)f(yf(x)) = f(x+y)}\), dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y>0}\).

Zadanie M5.
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ P}\) o współczynnikach rzeczywistych. Udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ P(x) = (U_{1}(x))^{2} + (U_{2}(x))^{2}+...+(U_{k}(x))^{2}}\)
dla pewnego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ k}\) i wielomianów rzeczywistych \(\displaystyle{ U_{1}, ..., U_{k}}\), to istnieje takie całkowite dodatnie \(\displaystyle{ m}\) i wielomiany rzeczywiste \(\displaystyle{ V_{1}, ..., V_{m}}\), że
\(\displaystyle{ (P(x))^{2} = (V_{1}(x))^{4}+(V_{2}(x))^{4}+...+(V_{m}(x))^{4}}\).

Zadanie M6.
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=9}\), to zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 2(a+b+c) - abc \leqslant 10}\).

Zadanie M7.
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest spodkiem wysokości z \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ E}\) - punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AO}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Styczne do okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ T}\), a prosta \(\displaystyle{ AT}\) przecina ten okrąg w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie DEF jest styczny do okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).

Zadanie M8.
Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest okręgiem wpisanym w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), stycznym do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F}\). Punkt \(\displaystyle{ T}\) jest drugim punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ AD}\) z \(\displaystyle{ \omega}\), a punkty \(\displaystyle{ M, N}\) - odpowiednio drugimi punktami przecięcia prostych \(\displaystyle{ BT, CT}\) z \(\displaystyle{ \omega}\). Okręgi \(\displaystyle{ \omega_{1}, \omega_{2}}\) są styczne do \(\displaystyle{ \omega}\) w punktach \(\displaystyle{ T, D}\) i przecinają się w punktach \(\displaystyle{ X, Y}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ X, Y, M, N}\) leżą na jednym okręgu lub na jednej prostej.

Zadanie M9.
Punkty \(\displaystyle{ O, I}\) są odpowiednio środkami okręgó opisanego i wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest punktem styczności okręgu wpisanego z bokiem \(\displaystyle{ BC}\), a punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są odpowiednio punktami przecięcia prostych \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ AO}\) z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Proste \(\displaystyle{ FI}\) i \(\displaystyle{ ED}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\), proste \(\displaystyle{ SC}\) i \(\displaystyle{ BE}\) - w \(\displaystyle{ M}\), a proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BF}\) - w \(\displaystyle{ N}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ M, I, N}\) są współliniowe.

Zadanie M10.
Dany jest skończony zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ S}\). Dowieść, że istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), która jest przedstawialna w postaci \(\displaystyle{ a^{p}+b^{p}}\) dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p \in S}\) (\(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami całkowitymi dodatnimi) oraz nie jest przedstawialna w postaci \(\displaystyle{ a^{p}+b^{p}}\) dla wszystkich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p \not\in S}\).

Zadanie M11.
Wielomian \(\displaystyle{ P}\) o współczynnikach całkowitych posiada pierwiastek rzeczywisty. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 4k + 3}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), dla których istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, że \(\displaystyle{ p | P(n)}\).

Zadanie M12.
Dane są względnie pierwsze liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b > 1}\). Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) o tej własności, że najwyższa potęga liczby \(\displaystyle{ p}\) dzieląca liczbę \(\displaystyle{ a^{p-1} - b^{p-1}}\) jest nieparzysta.

[michaln90]

Całkiem fajne zadania z zawodów drużynowych i meczu matematycznego (szczególnie M10, M11, M12 - takie właśnie powinny być na tegorocznym finale OM). Z kolei co do zadań z zawodów indywidualnych, to wolałbym zobaczyć te dla grupy starszej, bo te dla młodszej są raczej proste.

[lukasz_650]

Całkiem fajne zadania z zawodów drużynowych i meczu matematycznego (szczególnie M10, M11, M12 - takie właśnie powinny być na tegorocznym finale OM). Z kolei co do zadań z zawodów indywidualnych, to wolałbym zobaczyć te dla grupy starszej, bo te dla młodszej są raczej proste.

Hmmm... Patrząc na ranking indywidualny grupy młodszej, można stwierdzić, że aż tak proste te zadania nie były, bo była tylko jedna osoba, która zrobiła ponad połowę zadań. Wiadomo, że wpływał też na to czas - 4 i poł godziny na 4 zadania to nie jest dużo, ale mimo wszystko myśle, że zwłaszcza zadania czwarte w grupie młodszej są interesujące Tym bardziej, że znam rozwiązania do tych zadań. Faktycznie zadania M11 i M12 są zarówno ciekawe, jak i niebanalne, ale M10 chyba aż tak trudne nie jest Z resztą, jeżeli będzie Wam się chciało rozwiązywać, to sami się przekonacie

[taka_jedna]

Niezależnie od tego, czy te zadania są proste czy trudne, można prosić rozwiązania? I które z tych zadań są najprostrze?

[michaln90]

lukasz_650, masz może zadania dla grupy starszej??
Co do zadania M10 jeśli rozważymy przypadek, że 2 nie należy do S, to zadanie staje sie rzeczywiście łatwe.

[lukasz_650]

lukasz_650, masz może zadania dla grupy starszej??
Co do zadania M10 jeśli rozważymy przypadek, że 2 nie należy do S, to zadanie staje sie rzeczywiście łatwe.

Niestety nie mam zadań grupy starszej. A co do przypadku, gdy 2 należy do S rozwiązuje się bardzo podobnie

Niezależnie od tego, czy te zadania są proste czy trudne, można prosić rozwiązania? I które z tych zadań są najprostrze?

Od jutra (dzisiaj raczej czasu nie znajdę ;P) mogę systematycznie pisać wskazówki i ewentualnie również całe rozwiązania do tych zadań
Co do łatwości zadań, to jest to oczywiście moja własna subiektywna opinia, więc dla kogoś może być zupełnie inaczej. Jednak ogólnie pierwsze zadania z danej serii dla grupy młodszej wydają się najłatwiejsze, drugie i trzecie o średnim poziomie trudności, a te ostatnie są raczej najtrudniejsze

[Zygmunt Freud]

Mam pytanie: kiedy i w jaki sposób najszybciej będzie można uzyskać broszurkę z tegorocznego Zwardonia?
Btw: ma ktoś jakiś pomysł na czwarte z zawodów indywidualnych?

[lukasz_650]

Mam pytanie: kiedy i w jaki sposób najszybciej będzie można uzyskać broszurkę z tegorocznego Zwardonia?
Btw: ma ktoś jakiś pomysł na czwarte z zawodów indywidualnych?

Na pierwsze pytanie nie znam odpowiedzi, a ogólne wskazówki do czwartych zadań są następujące (oczywiście są to wskazówki do "wzorcowego" rozwiązania, a nie do jedynego rozwiązania tych zadań):

Ukryta treść:    

4. Dorysowanie okręgów, jednokładność, składanie jednokładności.
8. Ułamki łańcuchowe.
12. Zauważenie pewnych postaci tych liczb, dla których ta podzielność zawsze zachodzi.
16. Założyć, że jest rozkładalny na jakieś dwa wielomiany, pierwiastki zespolone jednego z nich.
20. Nie pamiętam w tym momencie ;P
24. Indukcja matematyczna.

[mazur89]

Mam pytanie: kiedy i w jaki sposób najszybciej będzie można uzyskać broszurkę z tegorocznego Zwardonia?

Na razie nie jest jeszcze gotowa, ale powinna być do 15 sierpnia. Być może wersja wstępna pojawi się w internecie około tego terminu.

[matex_06]

Apropo broszurek. Czy jest szansa na pojawienie się w najbliższym czasie broszurki ze Zwardonia 2008?
Chyba że już gdzies jest dostępna i ja o tym nie wiem...

[snm]

adkom kiedyś zdaje się wysyłał

[andkom]

Nie ja, lecz TomciO:
https://matematyka.pl/post294269.htm?#p294269
Nie wiem, dlaczego jeszcze tego nie ma na stronie OM, ale spróbuję się dowiedzieć.

[snm]

Racja, zdaje się, że wysyłał też pełne książeczki z rozwiązaniami

[Zygmunt Freud]

Ciekawią mnie Wasze rozwiązania zadań nr 5 (gdyż moje jest chyba nietypowe, ale z drugiej strony nie do końca kompletne) i 7 (gdyż własnego nie posiadam) z zawodów indywidualnych. Tak więc jeśli się ktoś nudzi...

[XMaS11]

No to 7.
Odpowiedź : \(\displaystyle{ n= \frac{p-1}{2}}\) .
Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie generatorem mod p. Weźmy zbiór składający się z \(\displaystyle{ \frac{p-3}{2}}\) elementów : \(\displaystyle{ \lbrace g^2,g^2 \ldots , g^2 \rbrace}\) Oczywiście iloczyn elementów jakiegokolwiek jego podzbioru nie przystaje do 1 mod p, zatem \(\displaystyle{ n> \frac{p-3}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ n \ge \frac{p-1}{2}}\) .
Z drugiej strony weźmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ n= \frac{p-1}{2}}\) kwadratów:
\(\displaystyle{ \lbrace a_1^2,a_2^2...a_n^2 \rbrace}\)
Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) reszt mod p:
\(\displaystyle{ a_1^2}\)
\(\displaystyle{ a_1^2a_2^2}\)
\(\displaystyle{ \cdots}\)
\(\displaystyle{ a_1^2a_2^2\ldots a_n^2}\).
Jeśli któraś z nich jest jedynką mod p to jest ok, jeśli nie to pewne dwie przystają do siebie mod p, powiedzmy, ze są to reszty : \(\displaystyle{ (a_1a_2...a_k)^2}\) i \(\displaystyle{ (a_1a_2...a_m)^2}\) (\(\displaystyle{ m>k}\)).
Czyli:
\(\displaystyle{ (a_1a_2...a_k)^2 \equiv (a_1a_2...a_m)^2 (p)}\)
\(\displaystyle{ (a_1a_2...a_k)^2(a_{k+1}a_{k+2}...a_m-1) \equiv 0 (p)}\).
Skąd \(\displaystyle{ a_{k+1}a_{k+2}...a_m \equiv 1 (p)}\) czyli też jest ok.