Granice funkcji - exp

falko1 · Post autor: **falko1** » 12 gru 2011, o 23:20

Witam,
potrzebuję pomocy przy znalezieniu granicy następującego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x^2-x} + \frac{2}{x^2+2x}\right)}\)

Próbowałem przekształcać, ale nie skraca mi się x z mianownika...
Z góry dziękuję za pomoc.

Post autor: **Chromosom** » 12 gru 2011, o 23:28

przedstaw swoje obliczenia

falko1 · Post autor: **falko1** » 12 gru 2011, o 23:47

Już znalazłem błąd, hehe, najciemniej jest jednak pod latarnią...
A jak podejść do takiej granicy?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}( e^{x^2}+x^2)^{ \frac{1}{x^2} }}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2011, o 00:00

A jaki masz tutaj symbol nieoznaczony?

Pozdrawiam.

falko1 · Post autor: **falko1** » 13 gru 2011, o 00:07

chodzi Ci o to, że granicą jest nieskończoność?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2011, o 00:11

Chodzi mi o to, co do czego dąży? I jaki symbol nieoznaczony dostajesz?

Pozdrawiam.

falko1 · Post autor: **falko1** » 13 gru 2011, o 00:17

nawias do 1 wykładnik do \(\displaystyle{ \frac{1}{0 ^{+} }}\) czyli otrzymuję \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2011, o 00:23

No właśnie - a to bardzo mocno sugeruje wykorzystanie granicy równej \(\displaystyle{ e}\). Wystarczy zrobić odpowiednie przekształcenie wzoru funkcji.

Pozdrawiam.

falko1 · Post autor: **falko1** » 13 gru 2011, o 00:26

No właśnie, tylko nie mam żadnego dobrego pomysłu jak go przekształcić...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2011, o 00:32

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}( e^{x^2}+x^2)^{ \frac{1}{x^2} }=\lim_{x \to 0}\left[ (1+(e^{x^2}+x^2-1))^{\frac{1}{ e^{x^2}+x^2-1}\right]^\frac{e^{x^2}+x^2-1}{x^2} }}\)

Pozdrawiam.

falko1 · Post autor: **falko1** » 13 gru 2011, o 00:40

BettyBoo, zabijesz mnie, ale co dalej z wykładnikiem? "Potraktować" go de l'Hospitalem? Bo wtedy wychodzi skraca mi się 2x i dostaję ostatecznie granicę \(\displaystyle{ e^2}\)...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 gru 2011, o 00:54

Możesz go potraktować de l'Hospitalem, ale wystarczy rozbić odpowiednio na dwa ułamki i skorzystać ze znanej granicy. Ostatecznie granicą jest - tak jak obliczyłeś - \(\displaystyle{ e^2}\).

A sposób przekształcenia, który podałam wyżej, jest standardowy - aby skorzystać z \(\displaystyle{ e}\) musisz po prostu otrzymać po przekształceniu \(\displaystyle{ (1+u)^\frac{1}{u}}\), gdzie \(\displaystyle{ u\to 0}\).

Pozdrawiam.