Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Oznaczmy \(\displaystyle{ \alpha}\) - miara kąta APD, \(\displaystyle{ S_{1}}\) - pole trójkąta BPC i \(\displaystyle{ S_{2}}\) - pole trójkąta APD. Narysujmy dwie proste równoległe do prostej \(\displaystyle{ l_{MP}}\) - jedną przechodzącą przez punkt A (przecinającą CD w punkcie A') i drugą przechodzącą prze B (przecinającą CD w punkcie B'). Zauważmy, że: \(\displaystyle{ \frac{S_{1}}{S_{2}}= \frac{\left| PB\right| \left| PC\right| \sin\alpha}{\left| PA\right| \left| PD\right| \sin\alpha }=\frac{\left| PB\right| \left| PC\right| }{\left| PA\right| \left| PD\right| }}\)
Z tw. Talesa mamy: \(\displaystyle{ \frac{\left| PC\right| }{\left| PA\right| } = \frac{\left| CQ\right| }{\left| QA'\right| }}\) \(\displaystyle{ \frac{\left| PD\right| }{\left| PB\right| } = \frac{\left| DQ\right| }{\left| QB'\right| }}\)
A więc zostaje jedynie udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| QA'\right| = \left| QB'\right|}\), co jest oczywistym wnioskiem z jeszcze jednego użycia twierdzenia Talesa: \(\displaystyle{ 1 = \frac{\left| AM\right| }{\left| MB\right| } = \frac{\left| QA'\right| }{\left| QB'\right| }}\)
Ogólnie to bardzo przyjemne zadania, mógłby być taki 2 etap
Jeśli ciąg nie istnieje, to może nawet zachodzić \(\displaystyle{ a_{n} = \pi}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), ponadto \(\displaystyle{ a_{n} < 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ a_{n} \in \mathbb{N}}\). W końcu z fałszu wynika wszystko. W szczególności wynika z niego teza zadania, a tylko o nią nas prosili.
Zawiłości praw logiki są naprawdę pasjonujące, ale może przejdźmy do rzeczy .
Szkic rozw. zad. 6:
\(\displaystyle{ W(x)=F(x)G(x)}\) poza tym wiemy, że \(\displaystyle{ F(i)G(i)\equiv _p 0}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., n}\), zatem możemy napisać \(\displaystyle{ F(x)=(x-f_1)...(x-f_k)+pF_2(x)}\) i \(\displaystyle{ G(x)=(x-g_1)...(x-g_{n-k})+pG_2(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ F_2}\) i \(\displaystyle{ G_2}\) są jakimiśtam wielomianami, które w całkowitych punktach przyjmują całkowite wartości (aczkolwiek nie muszą mieć całkowitych współczynników). W dodatku \(\displaystyle{ \{ 1, 2, ..., n \} = \{f_1, ...,f_k, g_1, ..., g_{n-k} \}}\).
Bardzo istotne jest jeszcze to, że \(\displaystyle{ F(g_i)= \pm 1}\) i tak samo \(\displaystyle{ G(f_i)= \pm 1}\) i teraz główny myk polega na wzięciu wzięciu wartości jednego wielomianu w dwóch pierwiastkach mod p drugiego i popatrzeniu na postać iloczynową, w której występuje całkiem mało całkiem małych wyrazów w stosunku do \(\displaystyle{ p/}\), które jest większe od \(\displaystyle{ n^n}\), zatem te iloczyny na pewno nie przekraczają co do modułu \(\displaystyle{ p}\). Z grubsza widać, ale nie mam ochoty wdawać w szczegóły.
Być może trzeba będzie osobno rozpatrzeć przypadek \(\displaystyle{ n=2}\), ale on jest dość prosty, każdy policzy na palcach.
Poza tym dość dziwne wydaje mi się to, że nie użyłem nigdzie założenia, że \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, może ktoś znajdzie blefa .
Btw to zadanie to Zwardoń 06 zad. 35, ale wcześniej go nie kminiłem. I wzorcówka właśnie rozwaliła mnie swoją prostotą .
Czy to naprawdę aż taki problem : / ? Przecież najważniejsza jest główna idea i jest w miarę jasno napisane, co trzeba zrobić, nie jest to dobry pomysł, ale gdzieś zawieszony w próżni.
Ale niech Ci będzie
Formalizacja dla arka1357:
Jeżeli \(\displaystyle{ n=2}\), to mamy \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)+p}\), zatem jeżeli to ma być rozkładalne, to musi być \(\displaystyle{ W(x)=(x+k)(x-k-3))}\), zatem musi być \(\displaystyle{ -k(k+3)=p+2}\), ale \(\displaystyle{ p>4}\), zatem \(\displaystyle{ p+2}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ -k(k+3)}\) jest parzyste.
Skoro \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to trójkę możemy pominąć, zatem załóżmy, że \(\displaystyle{ n \geq 4}\).
Kluczowa obserwacja jest taka, że jak wstawimy do \(\displaystyle{ F}\) jakieś \(\displaystyle{ g_i}\) to \(\displaystyle{ |(g_i-f_1)...(g_i-f_k)|<n \cdot n \cdot ... \cdot n =n^k<n^n<p}\), zatem skoro \(\displaystyle{ F(g_i)\equiv _p \pm 1}\), to musi zachodzić \(\displaystyle{ (g_i-f_1)...(g_i-f_k)= \pm 1 \Rightarrow |(g_i-f_1)...(g_i-f_k)|=1}\), analogicznie jak wstawimy \(\displaystyle{ f_i}\) do \(\displaystyle{ G}\).
Zauważmy jednak, że jeżeli albo \(\displaystyle{ F}\) albo \(\displaystyle{ G}\) jest stopnia co najmniej 3 (zalozmy, ze \(\displaystyle{ F}\)), to istnieją w takim zapisie \(\displaystyle{ F}\) co najmniej 3 czynniki postaci \(\displaystyle{ (x-f_i)}\), zatem jak wstawimy tam jakieś \(\displaystyle{ g_i}\) (a co najmniej jedno istnieje) to moduł któregoś z nawiasów przekroczy \(\displaystyle{ 1}\), zatem dostaniemy sprzeczność. Zatem stopień ani \(\displaystyle{ F}\) ani \(\displaystyle{ G}\) nie przekracza 2, a dla \(\displaystyle{ n=4}\) można łatwo spałować, bo w obu wielomianach musiałyby tymi liczbami w nawiasach być w jednym 1 i 3 a w drugim 2 i 4, ale wtedy można wstawić 1 do tego, gdzie jest 2 i 4 i też śmiga.
Swoją drogą \(\displaystyle{ n=3}\) też śmiga, co można sprawdzić po prostu sprawdzając, czy \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)+p=(x^2+ax+b)(x+c)}\) ma szansę zajść i jak się rozpiszę to siup, jakaś parzystość i też śmiga, zatem jest gitez dla wszystkich naturalnych n . A wzorcówka działa tylko dla parzystych ; p.
Załóżmy nie wprost, że istnieją takie wielomiany \(\displaystyle{ A \left( x \right)}\) i \(\displaystyle{ B \left( x \right)}\) o współczynnikach całkowitych, że \(\displaystyle{ W \left( x \right) = A \left( x \right) \cdot B \left( x \right)}\). Łatwo można sprawdzić, że skoro \(\displaystyle{ p > n ^{n}}\), to wielomian \(\displaystyle{ W \left( x\right)}\) jest dla wszystkich rzeczywistych większy od zera. Zatem, jeśli \(\displaystyle{ W \left( x \right) = A \left( x \right) \cdot B \left( x \right)}\), to \(\displaystyle{ A \left( x \right)}\) i \(\displaystyle{ B \left( x \right)}\) też są wszędzie dodatnie (albo oba są stale ujemne - kwestia przemnożenia przez \(\displaystyle{ -1}\)). Łatwo widać, że \(\displaystyle{ W \left( x \right) = p}\) dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, ..., n}\).
Wielomiany o współczynnikach całkowitych przyjmują dla argumentów całkowitych tylko wartości całkowite. To w połączeniu z faktem, że \(\displaystyle{ A \left( x \right) \cdot B \left( x \right) = p}\) dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, ..., n}\) i \(\displaystyle{ A \left( x \right), B \left( x \right)}\) są stale dodatnie daje nam, że dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, ..., n}\) jedna z liczb \(\displaystyle{ A \left( x \right), B \left( x \right)}\) musi być równa \(\displaystyle{ p}\), a druga \(\displaystyle{ 1}\).
Zauważmy, że stopień sumy dwóch wielomianów jest nie większy, niż stopień największego z nich. Jednak \(\displaystyle{ A \left( x \right) + B \left( x \right) = p+1}\) dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, ..., n}\). Wynika stąd, że suma tych dwóch wielomianów ma stopień większy lub równy \(\displaystyle{ n}\) lub jest wielomianem stałym (wtedy jednak dochodzimy do sprzeczności z tym, że oba wielomiany \(\displaystyle{ A \left( x \right), B \left( x \right)}\) są stale dodatnie). Jednak jeśli któryś z wielomianów \(\displaystyle{ A \left( x \right), B \left( x \right)}\) ma stopień n, to drugi z nich musi być wielomianem stałym, gdyż \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) jest stopnia n. Doszliśmy do sprzeczności, która kończy rozwiązanie zadania.
