ośmiokąt
sześciokąt
romb
czy pięciokąt?
Proszę o wyjaśnienia a byłabym b. wdzięczna za graficzny dowód
Jaka figura NIE może być częścią wspólną kwadratu i trójkąta
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23518
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3271 razy
Jaka figura NIE może być częścią wspólną kwadratu i trójkąta
Wg mnie ośmiokąt (bo od trójkąta do siedmiokąta doszedłem) - ale czekajmy może ktoś go znajdzie.
-
McCormick
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 18 lis 2011, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 2 razy
Jaka figura NIE może być częścią wspólną kwadratu i trójkąta
Niezależnie jak poprzecinasz między dwiema sąsiednimi ścianami w trójkącie możesz dać tylko jeden odcinek. Czyli maksymalnie możesz podwoić ilosć boków (a co za tym idzie kątów) w trójkącie . \(\displaystyle{ 2 \cdot 3=6}\)
Dlatego nie może byc ośmiokąt .
Dlatego nie może byc ośmiokąt .
Ostatnio zmieniony 22 lis 2011, o 00:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23518
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3271 razy
Jaka figura NIE może być częścią wspólną kwadratu i trójkąta
Też o tym pisałem.
piasek101 pisze:Wg mnie ośmiokąt (bo od trójkąta do siedmiokąta doszedłem) - ale czekajmy może ktoś go znajdzie.
-
Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4089
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Jaka figura NIE może być częścią wspólną kwadratu i trójkąta
Dowód nie wprost, ale najpierw lematy:
Niech figura będąca częscią wspólną dwóch innych oznaczona będzie jako: \(\displaystyle{ \mathfrak{F}=\mathfrak{F_1} \cap \mathfrak{F_2}}\)
Lemat 1
"Jeżeli \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\) są wypukłe to \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) jest wypukła (oczywiście jeżeli część wspólna to coś więcej niż punkt lub odcinek)"
Ponieważ kwadrat i dowolny trójkąt są figurami wypukłymi to figura będąca częścią wspólną też jest wypukła.
Pragnę też zauważyć że żadna figura wypukła nie ma dwóch różnych krawędzi wspóliniowych
Lemat 2
"Każda krawędź figury \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) należy do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) lub do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\)" (jak wiadomo z logiki "lub" oznacza również szczególny przypadek że należy jednocześnie do obu figur)
Zakładamy że ośmiokąt da radę.
- Wówczas na bazie lematu 1 jest to na pewno ośmiokąt wypukły, a wiec nie ma on 2 krawędzi współliniowych.
- Korzystając z lematu 2 w najlepszym razie żadna z krawędzi ośmiokąta nie jest jednocześnie krawędzią kwadratu i trójkąta. (Inaczej pisząc: każda z nich albo należy do kwadratu albo należy do trójkąta)
- Zatem każdą z OŚMIU krawędzi muszę przypisać do którejś krawędzi trójkąta ALBO krawędzi kwadratu. Ponieważ 4 z 8 przypiszę do kwadratu, a dalsze 3 do trójkąta, to pozostaje jedna nie przypisana nigdzie, co jest sprzeczne z wcześniejszymi ustaleniami.
Stąd w wyniku błędnego założenia, że ośmiokąt może powstać jakie część wspólna kwadratu i trójkąta doszliśmy do sprzeczności.
p.s. 1 Żeby było też jasne wszędzie przez słowo "figura" rozumiem wielokąt o niezerowym polu.
p.s. 2 Założenie o wypukłości (i o tym że żadne dwie krawędzie nie są współliniowe) jest o tyle istotne by z marszu wykluczyć sytuację, iż dwie krawędzie ośmiokąta (właśnie takie współliniowe) można by przypisać do jednej krawędzi kwadratu lub trójkąta (choćby czysto teoretycznie)
Niech figura będąca częscią wspólną dwóch innych oznaczona będzie jako: \(\displaystyle{ \mathfrak{F}=\mathfrak{F_1} \cap \mathfrak{F_2}}\)
Lemat 1
"Jeżeli \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\) są wypukłe to \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) jest wypukła (oczywiście jeżeli część wspólna to coś więcej niż punkt lub odcinek)"
Ponieważ kwadrat i dowolny trójkąt są figurami wypukłymi to figura będąca częścią wspólną też jest wypukła.
Pragnę też zauważyć że żadna figura wypukła nie ma dwóch różnych krawędzi wspóliniowych
Lemat 2
"Każda krawędź figury \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) należy do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) lub do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\)" (jak wiadomo z logiki "lub" oznacza również szczególny przypadek że należy jednocześnie do obu figur)
Zakładamy że ośmiokąt da radę.
- Wówczas na bazie lematu 1 jest to na pewno ośmiokąt wypukły, a wiec nie ma on 2 krawędzi współliniowych.
- Korzystając z lematu 2 w najlepszym razie żadna z krawędzi ośmiokąta nie jest jednocześnie krawędzią kwadratu i trójkąta. (Inaczej pisząc: każda z nich albo należy do kwadratu albo należy do trójkąta)
- Zatem każdą z OŚMIU krawędzi muszę przypisać do którejś krawędzi trójkąta ALBO krawędzi kwadratu. Ponieważ 4 z 8 przypiszę do kwadratu, a dalsze 3 do trójkąta, to pozostaje jedna nie przypisana nigdzie, co jest sprzeczne z wcześniejszymi ustaleniami.
Stąd w wyniku błędnego założenia, że ośmiokąt może powstać jakie część wspólna kwadratu i trójkąta doszliśmy do sprzeczności.
p.s. 1 Żeby było też jasne wszędzie przez słowo "figura" rozumiem wielokąt o niezerowym polu.
p.s. 2 Założenie o wypukłości (i o tym że żadne dwie krawędzie nie są współliniowe) jest o tyle istotne by z marszu wykluczyć sytuację, iż dwie krawędzie ośmiokąta (właśnie takie współliniowe) można by przypisać do jednej krawędzi kwadratu lub trójkąta (choćby czysto teoretycznie)
Ostatnio zmieniony 22 lis 2011, o 23:22 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 1 raz.