Matematyka.pl

ośmiokąt
sześciokąt
romb
czy pięciokąt?
Proszę o wyjaśnienia a byłabym b. wdzięczna za graficzny dowód

Wg mnie ośmiokąt (bo od trójkąta do siedmiokąta doszedłem) - ale czekajmy może ktoś go znajdzie.

Według mnie też ośmiokąt

Niezależnie jak poprzecinasz między dwiema sąsiednimi ścianami w trójkącie możesz dać tylko jeden odcinek. Czyli maksymalnie możesz podwoić ilosć boków (a co za tym idzie kątów) w trójkącie . \(\displaystyle{ 2 \cdot 3=6}\)
Dlatego nie może byc ośmiokąt .

[/url]

Widzę siedmiokąt.

Też o tym pisałem.

piasek101 pisze:Wg mnie ośmiokąt (bo od trójkąta do siedmiokąta doszedłem) - ale czekajmy może ktoś go znajdzie.

Dowód nie wprost, ale najpierw lematy:

Niech figura będąca częscią wspólną dwóch innych oznaczona będzie jako: \(\displaystyle{ \mathfrak{F}=\mathfrak{F_1} \cap \mathfrak{F_2}}\)
Lemat 1
"Jeżeli \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\) są wypukłe to \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) jest wypukła (oczywiście jeżeli część wspólna to coś więcej niż punkt lub odcinek)"

Ponieważ kwadrat i dowolny trójkąt są figurami wypukłymi to figura będąca częścią wspólną też jest wypukła.
Pragnę też zauważyć że żadna figura wypukła nie ma dwóch różnych krawędzi wspóliniowych

Lemat 2
"Każda krawędź figury \(\displaystyle{ \mathfrak{F}}\) należy do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_1}}\) lub do krawędzi \(\displaystyle{ \mathfrak{F_2}}\)" (jak wiadomo z logiki "lub" oznacza również szczególny przypadek że należy jednocześnie do obu figur)

Zakładamy że ośmiokąt da radę.
- Wówczas na bazie lematu 1 jest to na pewno ośmiokąt wypukły, a wiec nie ma on 2 krawędzi współliniowych.
- Korzystając z lematu 2 w najlepszym razie żadna z krawędzi ośmiokąta nie jest jednocześnie krawędzią kwadratu i trójkąta. (Inaczej pisząc: każda z nich albo należy do kwadratu albo należy do trójkąta)
- Zatem każdą z OŚMIU krawędzi muszę przypisać do którejś krawędzi trójkąta ALBO krawędzi kwadratu. Ponieważ 4 z 8 przypiszę do kwadratu, a dalsze 3 do trójkąta, to pozostaje jedna nie przypisana nigdzie, co jest sprzeczne z wcześniejszymi ustaleniami.

Stąd w wyniku błędnego założenia, że ośmiokąt może powstać jakie część wspólna kwadratu i trójkąta doszliśmy do sprzeczności.

p.s. 1 Żeby było też jasne wszędzie przez słowo "figura" rozumiem wielokąt o niezerowym polu.
p.s. 2 Założenie o wypukłości (i o tym że żadne dwie krawędzie nie są współliniowe) jest o tyle istotne by z marszu wykluczyć sytuację, iż dwie krawędzie ośmiokąta (właśnie takie współliniowe) można by przypisać do jednej krawędzi kwadratu lub trójkąta (choćby czysto teoretycznie)

piasek101 pisze:Też o tym pisałem.

To była tylko graficzna odpowiedź na post McCormicka

A mój był też do niego - aby czytał odpowiedzi.

bardzo dziękuję za odpowiedzi!