granica funkcji 2 zmiennych

[lbn]

bardzo prosze o pomoc. obliczyc granice lub uzasadnic jej nieistnienie:

1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}}\)

[Lorek]

1. Jak myślisz, ile wynosi
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{\sin (5xy)}{5xy}}\)?
2. Policz granice iterowane.

[lbn]

czyli rozumiem, że w przypadku 1. mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{3xy+( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{5xy} = (x^{2}+y^{2})+ \frac{3xy}{5xy} = \frac{8}{5}}\)

a w przypadku 2.:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 }[ \lim_{ y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-1}= \lim_{ x\to1 } \frac{2x-2}{2x-1}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ y\to0 }[ \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ y\to0 } \frac{y^{2}}{y^{2}}= 1}\)

i ostatecznie granica nie istnieje

?

[Lorek]

2. ok, ale pierwsze to jakieś dziwne przekształcenia, np. skąd to \(\displaystyle{ 3xy}\)?

[lbn]

zwiekszylem mianownik o 3xy, wiec rowniez licznik zeby otrzymac sin(5xy)/5xy... hm... zle?

[Lorek]

Czyli twierdzisz, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}}\)? Nie ma tak łatwo, mnożyć tak możesz, dodawać nie.

[lbn]

czyli w takim razie...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{ \frac{5}{2}[(x^{2}+y^{2})sin(5xy)] }{5xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2})* \frac{sin(5xy)}{5xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}) = \frac{5}{2}}\)

?

[Lorek]

Teraz ok.