bardzo prosze o pomoc. obliczyc granice lub uzasadnic jej nieistnienie:
1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}}\)
granica funkcji 2 zmiennych
-
lbn
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 2 paź 2006, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
granica funkcji 2 zmiennych
czyli rozumiem, że w przypadku 1. mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{3xy+( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{5xy} = (x^{2}+y^{2})+ \frac{3xy}{5xy} = \frac{8}{5}}\)
a w przypadku 2.:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 }[ \lim_{ y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-1}= \lim_{ x\to1 } \frac{2x-2}{2x-1}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ y\to0 }[ \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ y\to0 } \frac{y^{2}}{y^{2}}= 1}\)
i ostatecznie granica nie istnieje
?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{3xy+( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{5xy} = (x^{2}+y^{2})+ \frac{3xy}{5xy} = \frac{8}{5}}\)
a w przypadku 2.:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to1 }[ \lim_{ y\to0 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-1}= \lim_{ x\to1 } \frac{2x-2}{2x-1}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ y\to0 }[ \lim_{ x\to1 } \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-1}]= \lim_{ y\to0 } \frac{y^{2}}{y^{2}}= 1}\)
i ostatecznie granica nie istnieje
?
-
lbn
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 2 paź 2006, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
granica funkcji 2 zmiennych
zwiekszylem mianownik o 3xy, wiec rowniez licznik zeby otrzymac sin(5xy)/5xy... hm... zle?
-
lbn
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 2 paź 2006, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
granica funkcji 2 zmiennych
czyli w takim razie...
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{ \frac{5}{2}[(x^{2}+y^{2})sin(5xy)] }{5xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2})* \frac{sin(5xy)}{5xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}) = \frac{5}{2}}\)
?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{( x^{2} + y^{2} )sin(5xy)}{2xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{ \frac{5}{2}[(x^{2}+y^{2})sin(5xy)] }{5xy}= \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2})* \frac{sin(5xy)}{5xy} = \lim_{ x\to0 y\to1 } \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}) = \frac{5}{2}}\)
?