XXVII Konkurs Matematyczny im. Prof. J. Marszała

[satre]

Zadania dla klas 3 (przepisuje z pamięci więc mogą być drobne błędy):

1.Dany jest wzór rekurencyjny ciągu: \(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=300 \\ a_{n}= a_{n-1}+300+20(n-1) \end{cases}}\)
Zbadaj czy istnieje wyraz o wartości \(\displaystyle{ 50000}\) a jeśli nie istnieje to podaj wyrazy w bezpośrednim sąsiedztwie liczby \(\displaystyle{ 50000}\) z dokładnością do jedności.

2.Wykaż że dany układ równań nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych przy założeniu że \(\displaystyle{ z \neq 0}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=2 \\ xy+ z^{2}+1=0 \end{cases}}\)

3.Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) to boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) udowodnij nierówność:
\(\displaystyle{ (a-b) ^{2}<c(2a+2b-c)}\)

Według mojej oceny zadania bardzo łatwe nawet jak na taki konkurs:)

[krystian8207]

No zadanka nie były wymagające. Może ktoś wrzucić drugą klasę?

[Marcinek665]

1:    

Zrobiłbym tak, że po prostu wyliczyłbym początkowe wyrazy, aż zbliżyłbym się do \(\displaystyle{ 50000}\). Taki ciąg rośnie chyba wykładniczo, więc daję głowę, że nie wykonałbym więcej niż \(\displaystyle{ 10}\) kroków. Ale nie chce mi się teraz liczyć.

2:    

\(\displaystyle{ y=x-2}\). Wchodząc z tym do drugiego równania dostaniemy \(\displaystyle{ (x-1)^2 + z^2 = 0}\), ale \(\displaystyle{ z \neq 0}\) stąd sprzeczność.

3:    

Podstawienie trójkąta: \(\displaystyle{ a=x+y}\), \(\displaystyle{ b=y+z}\), \(\displaystyle{ c=z+x}\). Po podstawieniu tego dostaniemy \(\displaystyle{ xy+yz+zx>0}\) co jest prawdą.

\Koniec napinki

[anai]

Zadania dla klas 3 (przepisuje z pamięci więc mogą być drobne błędy):

1.Dany jest wzór rekurencyjny ciągu: \(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=300 \\ a_{n}= a_{n-1}+300+20(n-1) \end{cases}}\)
Zbadaj czy istnieje wyraz o wartości \(\displaystyle{ 50000}\) a jeśli nie istnieje to podaj wyrazy w bezpośrednim sąsiedztwie liczby \(\displaystyle{ 50000}\) z dokładnością do jedności.

2.Wykaż że dany układ równań nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych przy założeniu że \(\displaystyle{ z \neq 0}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=2 \\ xy+ z^{2}+1=0 \end{cases}}\)

3.Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) to boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) udowodnij nierówność:
\(\displaystyle{ (a-b) ^{2}<c(2a+2b-c)}\)

Według mojej oceny zadania bardzo łatwe nawet jak na taki konkurs:)

To na pewno są zadania dla 3 klasy? Chodzę do klasy 2 i dwa pierwsze zadania miałam identyczne...

Zadanie 3.
Oblicz długości środkowej AD trójkąta ABC, którego długości boków są równe odpowiednio a, b, c.

[Marcinek665]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{document}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.86,3.29)(13.66,12.72)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1.86,3.29)(13.66,12.72)
\pspolygon[linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.85,5.64)(10.94,6.74)(5.17,11.38)
\psline[linecolor=white](3.85,5.64)(10.94,6.74)
\psline[linecolor=white](10.94,6.74)(5.17,11.38)
\psline[linecolor=white](5.17,11.38)(3.85,5.64)
\psline(5.17,11.38)(7.39,6.19)
\psline(3.85,5.64)(5.17,11.38)
\psline(5.17,11.38)(10.94,6.74)
\psline(10.94,6.74)(3.85,5.64)
\psdots[linecolor=blue](3.85,5.64)
\rput[bl](3.92,5.76){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](10.94,6.74)
\rput[bl](11.01,6.86){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](5.17,11.38)
\rput[bl](5.24,11.49){\blue{$C$}}
\rput[bl](7.43,5.91){\white{$c_1$}}
\rput[bl](8.23,9.3){\white{$a_1$}}
\rput[bl](4.22,8.58){\white{$b_1$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.39,6.19)
\rput[bl](7.47,6.3){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](6,8.67){$d$}
\rput[bl](4.79,8.45){$b$}
\rput[bl](7.85,8.84){$a$}
\rput[bl](7.34,6.5){$c$}
\end{pspicture*}
\end{document}}\)



Zapiszmy z twierdzenia cosinusów 2 wnioski:

\(\displaystyle{ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos( \sphericalangle ADC)}\) (1)

\(\displaystyle{ BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos( \sphericalangle BDC) = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(180^{\circ} - \sphericalangle ADC) = BD^2 + CD^2 + 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos( \sphericalangle ADC)}\) (2)

Dodając (1) i (2) stronami dostaniemy:

\(\displaystyle{ AC^2 + BC^2 = AD^2 + BD^2 + 2CD^2}\)

Ale \(\displaystyle{ AD=BD= \frac{1}{2}AB}\) więc

\(\displaystyle{ AC^2 + BC^2 = \left( \frac{1}{2}AB\right) ^2 + \left(\frac{1}{2}AB \right) ^2 + 2CD^2}\)

Skąd łatwo doliczyć, że \(\displaystyle{ CD= \frac{1}{2}\sqrt{2(BC^2 + CA^2)-AB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2 + b^2)-c^2}}\)

[kamil13151]

3:    

Z nierówności trójkąta mamy: \(\displaystyle{ 1) \ a<c+b}\) i \(\displaystyle{ c<a+b}\), również prawdą jest, że \(\displaystyle{ c<a+b<a+3b}\), stąd \(\displaystyle{ 2) \ c<a+3b}\). Możemy założyć \(\displaystyle{ 0>a \ge b \ge c}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1) \ a<c+b \Leftrightarrow a-b<c \\ 2) \ c<a+3b \Leftrightarrow a-b<2a+2b-c \end{cases}}\)

Mnożąc obie nierówności \(\displaystyle{ (a-b) ^{2}<c(2a+2b-c)}\) dostajemy to co mamy udowodnić .

[dedeluszz]

Marcinek, błąd ;p
a1 = 300
a2 = 300 + 320
a3 = 300 + 320 +340...

Czyli an= n*300 + Suma ciągu b(n) , gdzie b(n) = (n-1)*20

[Marcinek665]

No napisałem, że "chyba rośnie", więc to były tylko moje przypuszczenia, a nie chciało mi się liczyć

[anai]

Dzięki za rozwiązanie Marcinek. )
Nawiasem mówiąc to trochę dziwne, że w moim LO klasy drugie miały 2 zadania identyczne do tych, które podajecie dla klas trzecich... Nie wiem nawet, czy klasy 3 z mojej szkoły, pisały to samo co 3 klasy w innych miastach; a zdaje mi się, że ten etap jest UJEDNOLICONY...
Jeśli możecie, to wrzućcie proszę wasze zadania (klasa II)

[Dunix]

Zadania dla uczniów klas drugich

Zadanie 1
Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają równość \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+b ^{2}-c ^{2} }{2ab} + \frac{b ^{2}+c ^{2}-a ^{2} }{2bc} + \frac{c ^{2}+a ^{2}-b ^{2} }{2ac} = 1}\). Wykazać, że jeden z ułamków tej równości jest równy \(\displaystyle{ -1}\), a pozostałe są równe \(\displaystyle{ +1}\).

Zadanie 2
Rozwiąż układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych: \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=1 \\ x + y +cos^{2}z = 2 \end{cases }}\)

Zadanie 3
Oblicz długość środkowej \(\displaystyle{ AD}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), którego długości boków są równe odpowiednio \(\displaystyle{ a, b, c.}\)

Co do tych wątpliwości, że niektórzy mają różne zadania, to moja nauczycielka mówiła mi, że pan Śmietana pomylił się w zadaniach dla klas 2 i 3, i szkoły potem same musiały to zmieniać.

[hiro]

Zadania dla uczniów klas drugich

Zadanie 1
Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają równość \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+b ^{2}-c ^{2} }{2ab} + \frac{b ^{2}+c ^{2}-a ^{2} }{2bc} + \frac{c ^{2}+a ^{2}-b ^{2} }{2ac} = 1}\). Wykazać, że jeden z ułamków tej równości jest równy \(\displaystyle{ -1}\), a pozostałe są równe \(\displaystyle{ +1}\).

Wie ktoś jak rozwiązać to zadanie? Jak wykazać że równość jest prawdziwa?

[Leszczu21]

Jeżeli dla dodatnich a,b,c zachodzi warunek trójkąta, to mamy równanie cos(alfa) + cos(beta) + cos(gamma) = 1 (alfa+beta+gamma)=pi (wtedy łatwo wykazać; łatwo też wykazać, co się dzieje, jeżeli |a|,|b|,|c| zachodzi nierówność trójkąta; poważny problem zaczyna się, gdy |a|,|b|,|c| nie spełniają warunku trójkąta). Czuję, że zadanie nie zostało doprecyzowane.

[Dunix]

Zadanie 1 klasa II

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+b ^{2}-c ^{2} }{2ab} + \frac{b ^{2}+c ^{2}-a ^{2} }{2bc} + \frac{c ^{2}+a ^{2}-b ^{2} }{2ca} = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+2ab+b ^{2}-c ^{2} }{2ab}-1 + \frac{b ^{2}-2bc+c ^{2}-a ^{2} }{2bc} +1 = \frac{-(c ^{2}-2ca+a ^{2})+b ^{2} }{2ca}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b) ^{2}-c ^{2} }{2ab} + \frac{(b-c) ^{2}-a ^{2} }{2bc}= \frac{b ^{2}-(c-a) ^{2} }{2ca}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b-c)(a+b+c) }{2ab} + \frac{(a+b-c)(-a+b-c) }{2bc}= \frac{(a+b-c)(-a+b-c) }{2ca}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c) }{2ab} + \frac{(-a+b-c) }{2bc}= \frac{(-a+b-c) }{2ca}}\)

\(\displaystyle{ c(a+b+c) + a(-a+b-c)= b(-a+b-c)}\)

\(\displaystyle{ c^{2} =a^{2}-2ab+b^{2}}\) (1)

\(\displaystyle{ c=a-b \vee c=b-a}\)

Po podstawieniu (1) do ułamków w równości wyjściowej otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+b ^{2}-c ^{2} }{2ab}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{b ^{2}+c ^{2}-a ^{2} }{2bc}=\frac{b-a}{c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{c ^{2}+a ^{2}-b ^{2} }{2ca}=\frac{a-b}{c}}\)

Zatem pierwszy ułamek jest równy +1, a drugi i trzeci zamiennie -1 i +1

[magda754]

podajcie rozwiązania do klas pierwszych

[Cubix651]

Witam wszystkich forumowiczów!
Oto moje rozwiązanie do zadania 2 dla klasy 1. Przypomnę jeszcze treść:

Zadanie 2 klasa 1
Wyznacz całkowite rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=3 \\ xy-z^2=1 \end{cases}}\)

Rozwiązanie zad 2 klasa 1:    

Przekształcając drugie równanie do \(\displaystyle{ xy = 1 +z^2}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ xy}\)musi być dodatnie, czyli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) muszą być takiego samego znaku. Jednak nie mogą być ujemne, bo będzie sprzeczność z pierwszym równaniem z układu. Więc \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+}\). Korzystając z pierwszego równanie mamy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}}\)
Podstawiając do drugiego równania:
\(\displaystyle{ 2 - z^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ z^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ z = 1 \vee z = -1}\)
Ostateczne rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y=2 \\z=1\end{cases} \vee \begin{cases} x=2 \\ y=1 \\z=1 \end{cases}\vee \begin{cases} x = 1 \\ y=2 \\ z= -1\end{cases} \vee \begin{cases} x=2 \\ y=1 \\z=-1 \end{cases}}\)