Witam mam tu kilka zadań z ciągów ale mam problem z ich rozwiązaniem a, że czas mnie goni i nie mam kiedy to zrobic prosił bym o pomoc ;/
1. wykaż, że ciąg an jest rosnący gdy
a) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{3}n+17}\)
b) \(\displaystyle{ an= 3\cdot 2 ^{n}-7}\)
c) \(\displaystyle{ an= \frac{11-2n}{5-7}}\)
c) \(\displaystyle{ an= \frac{2n+7}{2-3n}}\)
2. wykaż, że ciąg an jest malejący gdy
a) \(\displaystyle{ an= \frac{3n+2}{n}}\)
b) \(\displaystyle{ an= \frac{2}{n} -2 ^{n}}\)
c) \(\displaystyle{ an= \frac{3n+7}{7n-2}}\)
d) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{n ^{2} }}\)
3. wykaż, że ciąg an jest arytmetyczny gdy
a) \(\displaystyle{ an= 6n-2}\)
b) \(\displaystyle{ an= \sqrt{2}n+2}\)
c) \(\displaystyle{ an= 13- \frac{1}{10}n}\)
d) \(\displaystyle{ an= n ^{2} +n+1}\)
4. oblicz n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
a) \(\displaystyle{ a _{1} = -2 ; r=0,1 ; n=35}\)
b) \(\displaystyle{ a _{1} = \frac{1}{2} ; r \sqrt{3} ; n=8}\)
5. czy ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.
a) \(\displaystyle{ an= \frac{n+1}{n}}\)
b) \(\displaystyle{ an= \frac{n \cdot 1}{n+1}}\)
c) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{2}(n-5)}\)
6. oblicz \(\displaystyle{ a _{1} ; r ; an}\) jeśli.
a) \(\displaystyle{ a _{2} + a _{5} = 7
a _{3} + a _{8} =11}\)
b) \(\displaystyle{ a _{5} + a _{7} =20
a _{4} + a _{11} =26}\)
c) \(\displaystyle{ a _{5} = -3
a _{7} = -14}\)
7. wykaż czy ciąg jest geometryczny
a) \(\displaystyle{ a _{n} = 5 \cdot 7 ^{n}}\)
b) \(\displaystyle{ a _{n} = 7n ^{2}}\)
c) \(\displaystyle{ a _{n} = 3n+5}\)
d) \(\displaystyle{ a _{n} = n ^{n}}\)
8. wyznacz \(\displaystyle{ a _{1} ; g ; an jeśli}\)
a) \(\displaystyle{ a _{5} = 1 a _{g} =4}\)
b) \(\displaystyle{ a _{5} - a _{3} =27 a _{4} - a _{2} = 18}\)
c) \(\displaystyle{ s _{4} = 60 g=2}\)
z góry bardzo dziękuje za pomoc
Ciągi matematyczne
Ciągi matematyczne
1. A) \(\displaystyle{ a _{n-1}}\)=-- 18 maja 2009, o 10:09 --1. a) \(\displaystyle{ a _{n+1}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)*(n+1)+17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)+17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+17\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}}\)- \(\displaystyle{ a_{n}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+17\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)-\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n-17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) Wartosć jest dodatnia, ciąg rosnący
\(\displaystyle{ a _{n+1}}\)- \(\displaystyle{ a_{n}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+17\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)-\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n-17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) Wartosć jest dodatnia, ciąg rosnący
Ciągi matematyczne
Wiem, że jestem nowym użytkownikiem tutaj ale naprawde prosze o pomoc z tymi przykładami, z góry bardzo dziekuje jak ktoś pomoże. pozdrawiam
Ciągi matematyczne
ZAD. 6.
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2+a_5=7\\a_3+a_8=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+r+a_1+4r=7\\a_1+2r+a_1+7r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+5r=7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-5r=-7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4r=4\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1+9=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\a_1=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n}\)
\(\displaystyle{ a_n=n}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5+a_7=20\\a_4+a_{11}=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r+a_1+6r=20\\a_1+3r+a_1+10r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+10r=20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-10r=-20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3r=6\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+26=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\a_1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=0+(n-1)\cdot 2=2n-2}\)
\(\displaystyle{ a_n=2n-2}\)
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=-3\\a_7=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r=-3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a_1-4r=3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2r=-11\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1-33=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1=19\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=19+(n-1)\cdot (-5 \frac{1}{2})=19-5 \frac{1}{2}n+5 \frac{1}{2}=24 \frac{1}{2}-5 \frac{1}{2}n}\)
\(\displaystyle{ a_n=-5 \frac{1}{2}n+24 \frac{1}{2}}\)-- 19 maja 2009, o 00:11 --ZAD. 8.
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_9=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_5 \cdot q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\1 \cdot q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_5=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (\sqrt 2)^{n-1}}\) lub \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt 2)^{n-1}}\)
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2+a_5=7\\a_3+a_8=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+r+a_1+4r=7\\a_1+2r+a_1+7r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+5r=7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-5r=-7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4r=4\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1+9=11\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\a_1=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n}\)
\(\displaystyle{ a_n=n}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5+a_7=20\\a_4+a_{11}=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r+a_1+6r=20\\a_1+3r+a_1+10r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+10r=20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-10r=-20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3r=6\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+26=26\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\a_1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=0+(n-1)\cdot 2=2n-2}\)
\(\displaystyle{ a_n=2n-2}\)
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=-3\\a_7=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r=-3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a_1-4r=3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2r=-11\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1-33=-14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1=19\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=19+(n-1)\cdot (-5 \frac{1}{2})=19-5 \frac{1}{2}n+5 \frac{1}{2}=24 \frac{1}{2}-5 \frac{1}{2}n}\)
\(\displaystyle{ a_n=-5 \frac{1}{2}n+24 \frac{1}{2}}\)-- 19 maja 2009, o 00:11 --ZAD. 8.
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_9=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_5 \cdot q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\1 \cdot q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q^4=4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_5=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (\sqrt 2)^{n-1}}\) lub \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt 2)^{n-1}}\)
-
lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
Ciągi matematyczne
2. wykaż, że ciąg an jest malejący gdy
a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+2}{n}\\
a_{n+1}= \frac{3n+5}{n+1} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+5}{n+1}-\frac{3n+2}{n}=\frac{(3n+5)n}{n(n+1)}-\frac{(3n+2)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{3n^2+5n-3n^2-3n-2n-2}{n(n+1)}=\\
=\frac{-2}{n(n+1)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
b)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{2}{n} -2 ^{n}\\
a_{n+1}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}\\
a_{n+1}-a_{n}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}- \frac{2}{n} +2 ^{n}= \frac{2n}{n(n+1)}- \frac{2(n+1)}{n(n+1)}-2^n*2+2^n=\\
= \frac{-2}{n(n+1)}-2^n<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
c)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+7}{7n-2}\\
a_{n+1}=\frac{3n+10}{7n+5}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+10}{7n+5}- \frac{3n+7}{7n-2}= \frac{(3n+10)(7n-2)}{(7n+5)(7n-2)}- \frac{(3n+7)(7n+5)}{(7n-2)(7n+5)}=\\
= \frac{21n^2-6n+70n-20-21n^2-15n-49n-35}{(7n-2)(7n+5)}= \frac{-55}{(7n-2)(7n+5)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
d)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n ^{2} }\\
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}- \frac{1}{n ^{2} }= \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}- \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\\
= \frac{n^2-n^2-2n+1}{n^2(n+1)^2}= \frac{-2n+1}{n^2(n+1)^2}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+2}{n}\\
a_{n+1}= \frac{3n+5}{n+1} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+5}{n+1}-\frac{3n+2}{n}=\frac{(3n+5)n}{n(n+1)}-\frac{(3n+2)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{3n^2+5n-3n^2-3n-2n-2}{n(n+1)}=\\
=\frac{-2}{n(n+1)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
b)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{2}{n} -2 ^{n}\\
a_{n+1}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}\\
a_{n+1}-a_{n}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}- \frac{2}{n} +2 ^{n}= \frac{2n}{n(n+1)}- \frac{2(n+1)}{n(n+1)}-2^n*2+2^n=\\
= \frac{-2}{n(n+1)}-2^n<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
c)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+7}{7n-2}\\
a_{n+1}=\frac{3n+10}{7n+5}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+10}{7n+5}- \frac{3n+7}{7n-2}= \frac{(3n+10)(7n-2)}{(7n+5)(7n-2)}- \frac{(3n+7)(7n+5)}{(7n-2)(7n+5)}=\\
= \frac{21n^2-6n+70n-20-21n^2-15n-49n-35}{(7n-2)(7n+5)}= \frac{-55}{(7n-2)(7n+5)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
d)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n ^{2} }\\
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}- \frac{1}{n ^{2} }= \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}- \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\\
= \frac{n^2-n^2-2n+1}{n^2(n+1)^2}= \frac{-2n+1}{n^2(n+1)^2}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.
Ciągi matematyczne
ZAD. 4.
a)
\(\displaystyle{ a_1= -2\\ r=0,1 \\n=35}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)
\(\displaystyle{ a_{35}=-2+(35-1) \cdot 0,1=-2+34 \cdot 0,1=-2+3,4=1,4}\)
b)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{1}{2}\\ r=\sqrt 3 \\n=8}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)
\(\displaystyle{ a_8=\frac{1}{2}+(8-1) \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7 \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7\sqrt3}\)
-- 19 maja 2009, o 09:54 --
ZAD.3.
a)
\(\displaystyle{ a_n=6n-2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=6(n+1)-2=6n+4}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=6n+4-(6n-2)=6n+4-6n+2=6}\)
\(\displaystyle{ r=6}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
b)
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt2n+2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt2(n+1)+2=\sqrt2n+2+\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\sqrt2n+2+\sqrt2-(\sqrt2n+2)=\sqrt2n+2+\sqrt2-\sqrt2n-2=\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 10:01 --
ZAD. 3.
c)
\(\displaystyle{ a_n=13- \frac{1}{10} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=13- \frac{1}{10} \cdot (n+1)=13- \frac{1}{10} n- \frac{1}{10}=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-(13- \frac{1}{10}n)=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-13+\frac{1}{10}n=- \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ r=- \frac{1}{10}}\), zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym.
-- 19 maja 2009, o 10:06 --
d)
\(\displaystyle{ a_n=n^2+n+1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)+1=n^2+2n+1+n+1+1=n^2+3n+3}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=n^2+3n+3-(n^2+n+1)=n^2+3n+3-n^2-n-1=2n+2}\)
\(\displaystyle{ r=2n+2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem arytmetycznym.
-- 19 maja 2009, o 10:28 --
ZAD. 5.
a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n= 1+\frac{1}{n+1}-(1+\frac{1}{n})=1+\frac{1}{n+1}-1-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.
b)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+1+1}=\frac{n+1}{n+2}}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-(n^2+2n)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 10:33 --
c)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(n-5)=\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(n+1)-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-2}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}n-2-(\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2})=\frac{1}{2}n-2-\frac{1}{2}n+2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 16:16 --
ZAD. 8.
b) \(\displaystyle{ \begin{cases} a_5-a_3=27\\a_4-a_2=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 \cdot q^2-a_3=27\\a_2 \cdot q^2-a_2=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 (q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2 \cdot q(q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 18q=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{27}{18}\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 ((\frac{3}{2})^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 (\frac{9}{4}-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 \cdot \frac{5}{4}=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 =18\cdot \frac{4}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 = \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot q = \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot \frac{3}{2}= \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{72}{5} \cdot \frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{48}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= 1\frac{1}{2}\\a_1 = 9\frac{3}{5}\end{cases}}\)
-- 19 maja 2009, o 16:24 --
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{48}{5} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}=\frac{48}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^n=\frac{32}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n=6\frac{2}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n}\)
-- 19 maja 2009, o 16:30 --
ZAD. 8.
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_4=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-2^4}{1-2}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-16}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{-15}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 15=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =4\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=4 \cdot 2^{n-1}=2^2 \cdot 2^{n-1}=2^{2+n-1}=2^{1+n}=2^{n+1}}\)-- 19 maja 2009, o 17:04 --ZAD. 7.
a)
\(\displaystyle{ a_n=5 \cdot 7^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=5 \cdot 7^{n+1}=5 \cdot 7 \cdot 7^n=35 \cdot 7^n}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{35 \cdot 7^n}{5 \cdot 7^n}=7}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem geometrycznym.
b)
\(\displaystyle{ a_n=7 \cdot n^2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=7 \cdot (n+1)^2}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7 \cdot (n+1)^2}{7 \cdot n^2}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=(\frac{n+1}{n})^2}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.
c)
\(\displaystyle{ a_n=3n+5}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=3(n+1)+5 =3n+3+5=3n+8}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3n+8}{3n+5}=1+\frac{3}{3n+5}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.
d)
\(\displaystyle{ a_n=n^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(n+1) \cdot (\frac{n+1}{n})^n}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.
a)
\(\displaystyle{ a_1= -2\\ r=0,1 \\n=35}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)
\(\displaystyle{ a_{35}=-2+(35-1) \cdot 0,1=-2+34 \cdot 0,1=-2+3,4=1,4}\)
b)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{1}{2}\\ r=\sqrt 3 \\n=8}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)
\(\displaystyle{ a_8=\frac{1}{2}+(8-1) \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7 \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7\sqrt3}\)
-- 19 maja 2009, o 09:54 --
ZAD.3.
a)
\(\displaystyle{ a_n=6n-2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=6(n+1)-2=6n+4}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=6n+4-(6n-2)=6n+4-6n+2=6}\)
\(\displaystyle{ r=6}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
b)
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt2n+2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt2(n+1)+2=\sqrt2n+2+\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\sqrt2n+2+\sqrt2-(\sqrt2n+2)=\sqrt2n+2+\sqrt2-\sqrt2n-2=\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 10:01 --
ZAD. 3.
c)
\(\displaystyle{ a_n=13- \frac{1}{10} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=13- \frac{1}{10} \cdot (n+1)=13- \frac{1}{10} n- \frac{1}{10}=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-(13- \frac{1}{10}n)=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-13+\frac{1}{10}n=- \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ r=- \frac{1}{10}}\), zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym.
-- 19 maja 2009, o 10:06 --
d)
\(\displaystyle{ a_n=n^2+n+1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)+1=n^2+2n+1+n+1+1=n^2+3n+3}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=n^2+3n+3-(n^2+n+1)=n^2+3n+3-n^2-n-1=2n+2}\)
\(\displaystyle{ r=2n+2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem arytmetycznym.
-- 19 maja 2009, o 10:28 --
ZAD. 5.
a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n= 1+\frac{1}{n+1}-(1+\frac{1}{n})=1+\frac{1}{n+1}-1-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.
b)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+1+1}=\frac{n+1}{n+2}}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-(n^2+2n)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 10:33 --
c)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(n-5)=\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(n+1)-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-2}\)
\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}n-2-(\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2})=\frac{1}{2}n-2-\frac{1}{2}n+2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.
-- 19 maja 2009, o 16:16 --
ZAD. 8.
b) \(\displaystyle{ \begin{cases} a_5-a_3=27\\a_4-a_2=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 \cdot q^2-a_3=27\\a_2 \cdot q^2-a_2=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 (q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2 \cdot q(q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 18q=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{27}{18}\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 ((\frac{3}{2})^2-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 (\frac{9}{4}-1)=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 \cdot \frac{5}{4}=18\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 =18\cdot \frac{4}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 = \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot q = \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot \frac{3}{2}= \frac{72}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{72}{5} \cdot \frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{48}{5}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= 1\frac{1}{2}\\a_1 = 9\frac{3}{5}\end{cases}}\)
-- 19 maja 2009, o 16:24 --
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{48}{5} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}=\frac{48}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^n=\frac{32}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n=6\frac{2}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n}\)
-- 19 maja 2009, o 16:30 --
ZAD. 8.
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_4=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-2^4}{1-2}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-16}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{-15}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 15=60\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =4\\q=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=4 \cdot 2^{n-1}=2^2 \cdot 2^{n-1}=2^{2+n-1}=2^{1+n}=2^{n+1}}\)-- 19 maja 2009, o 17:04 --ZAD. 7.
a)
\(\displaystyle{ a_n=5 \cdot 7^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=5 \cdot 7^{n+1}=5 \cdot 7 \cdot 7^n=35 \cdot 7^n}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{35 \cdot 7^n}{5 \cdot 7^n}=7}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem geometrycznym.
b)
\(\displaystyle{ a_n=7 \cdot n^2}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=7 \cdot (n+1)^2}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7 \cdot (n+1)^2}{7 \cdot n^2}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=(\frac{n+1}{n})^2}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.
c)
\(\displaystyle{ a_n=3n+5}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=3(n+1)+5 =3n+3+5=3n+8}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3n+8}{3n+5}=1+\frac{3}{3n+5}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.
d)
\(\displaystyle{ a_n=n^n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(n+1) \cdot (\frac{n+1}{n})^n}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.