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Witam mam tu kilka zadań z ciągów ale mam problem z ich rozwiązaniem a, że czas mnie goni i nie mam kiedy to zrobic prosił bym o pomoc ;/

1. wykaż, że ciąg an jest rosnący gdy

a) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{3}n+17}\)

b) \(\displaystyle{ an= 3\cdot 2 ^{n}-7}\)

c) \(\displaystyle{ an= \frac{11-2n}{5-7}}\)

c) \(\displaystyle{ an= \frac{2n+7}{2-3n}}\)

2. wykaż, że ciąg an jest malejący gdy

a) \(\displaystyle{ an= \frac{3n+2}{n}}\)

b) \(\displaystyle{ an= \frac{2}{n} -2 ^{n}}\)

c) \(\displaystyle{ an= \frac{3n+7}{7n-2}}\)

d) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{n ^{2} }}\)

3. wykaż, że ciąg an jest arytmetyczny gdy

a) \(\displaystyle{ an= 6n-2}\)

b) \(\displaystyle{ an= \sqrt{2}n+2}\)

c) \(\displaystyle{ an= 13- \frac{1}{10}n}\)

d) \(\displaystyle{ an= n ^{2} +n+1}\)

4. oblicz n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

a) \(\displaystyle{ a _{1} = -2 ; r=0,1 ; n=35}\)

b) \(\displaystyle{ a _{1} = \frac{1}{2} ; r \sqrt{3} ; n=8}\)

5. czy ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.

a) \(\displaystyle{ an= \frac{n+1}{n}}\)

b) \(\displaystyle{ an= \frac{n \cdot 1}{n+1}}\)

c) \(\displaystyle{ an= \frac{1}{2}(n-5)}\)

6. oblicz \(\displaystyle{ a _{1} ; r ; an}\) jeśli.

a) \(\displaystyle{ a _{2} + a _{5} = 7

a _{3} + a _{8} =11}\)

b) \(\displaystyle{ a _{5} + a _{7} =20

a _{4} + a _{11} =26}\)

c) \(\displaystyle{ a _{5} = -3

a _{7} = -14}\)

7. wykaż czy ciąg jest geometryczny

a) \(\displaystyle{ a _{n} = 5 \cdot 7 ^{n}}\)

b) \(\displaystyle{ a _{n} = 7n ^{2}}\)

c) \(\displaystyle{ a _{n} = 3n+5}\)

d) \(\displaystyle{ a _{n} = n ^{n}}\)

8. wyznacz \(\displaystyle{ a _{1} ; g ; an jeśli}\)

a) \(\displaystyle{ a _{5} = 1 a _{g} =4}\)

b) \(\displaystyle{ a _{5} - a _{3} =27 a _{4} - a _{2} = 18}\)

c) \(\displaystyle{ s _{4} = 60 g=2}\)

z góry bardzo dziękuje za pomoc

1. A) \(\displaystyle{ a _{n-1}}\)=-- 18 maja 2009, o 10:09 --1. a) \(\displaystyle{ a _{n+1}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)*(n+1)+17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)+17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+17\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}}\)- \(\displaystyle{ a_{n}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n+17\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)-\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)n-17=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) Wartosć jest dodatnia, ciąg rosnący

Wiem, że jestem nowym użytkownikiem tutaj ale naprawde prosze o pomoc z tymi przykładami, z góry bardzo dziekuje jak ktoś pomoże. pozdrawiam

ZAD. 6.

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2+a_5=7\\a_3+a_8=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+r+a_1+4r=7\\a_1+2r+a_1+7r=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+5r=7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-5r=-7\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4r=4\\2a_1+9r=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1+9=11\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\2a_1=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=1\\a_1=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n}\)

\(\displaystyle{ a_n=n}\)


b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5+a_7=20\\a_4+a_{11}=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r+a_1+6r=20\\a_1+3r+a_1+10r=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_1+10r=20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a_1-10r=-20\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3r=6\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+13r=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1+26=26\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\2a_1=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=2\\a_1=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=0+(n-1)\cdot 2=2n-2}\)

\(\displaystyle{ a_n=2n-2}\)


c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=-3\\a_7=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+4r=-3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -a_1-4r=3\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2r=-11\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1+6r=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1-33=-14\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-5 \frac{1}{2}\\a_1=19\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)\cdot r=19+(n-1)\cdot (-5 \frac{1}{2})=19-5 \frac{1}{2}n+5 \frac{1}{2}=24 \frac{1}{2}-5 \frac{1}{2}n}\)

\(\displaystyle{ a_n=-5 \frac{1}{2}n+24 \frac{1}{2}}\)-- 19 maja 2009, o 00:11 --ZAD. 8.

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_9=4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\a_5 \cdot q^4=4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\1 \cdot q^4=4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q^4=4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_5=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_5=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot q^4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 \cdot 4=1\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=\sqrt 2\end{cases}\vee \begin{cases} a_1 =\frac{1}{4}\\q=- \sqrt2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (\sqrt 2)^{n-1}}\) lub \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt 2)^{n-1}}\)

2. wykaż, że ciąg an jest malejący gdy
a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+2}{n}\\
a_{n+1}= \frac{3n+5}{n+1} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+5}{n+1}-\frac{3n+2}{n}=\frac{(3n+5)n}{n(n+1)}-\frac{(3n+2)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{3n^2+5n-3n^2-3n-2n-2}{n(n+1)}=\\
=\frac{-2}{n(n+1)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.

b)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{2}{n} -2 ^{n}\\
a_{n+1}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}\\
a_{n+1}-a_{n}= \frac{2}{n+1}-2^{n+1}- \frac{2}{n} +2 ^{n}= \frac{2n}{n(n+1)}- \frac{2(n+1)}{n(n+1)}-2^n*2+2^n=\\
= \frac{-2}{n(n+1)}-2^n<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.

c)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{3n+7}{7n-2}\\
a_{n+1}=\frac{3n+10}{7n+5}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+10}{7n+5}- \frac{3n+7}{7n-2}= \frac{(3n+10)(7n-2)}{(7n+5)(7n-2)}- \frac{(3n+7)(7n+5)}{(7n-2)(7n+5)}=\\
= \frac{21n^2-6n+70n-20-21n^2-15n-49n-35}{(7n-2)(7n+5)}= \frac{-55}{(7n-2)(7n+5)}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.

d)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n ^{2} }\\
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}- \frac{1}{n ^{2} }= \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}- \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2}=\\
= \frac{n^2-n^2-2n+1}{n^2(n+1)^2}= \frac{-2n+1}{n^2(n+1)^2}<0}\)
Zatem ciąg jest malejący.

ZAD. 4.

a)
\(\displaystyle{ a_1= -2\\ r=0,1 \\n=35}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)

\(\displaystyle{ a_{35}=-2+(35-1) \cdot 0,1=-2+34 \cdot 0,1=-2+3,4=1,4}\)

b)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{1}{2}\\ r=\sqrt 3 \\n=8}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1) \cdot r}\)

\(\displaystyle{ a_8=\frac{1}{2}+(8-1) \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7 \cdot \sqrt 3=\frac{1}{2}+7\sqrt3}\)

-- 19 maja 2009, o 09:54 --

ZAD.3.
a)
\(\displaystyle{ a_n=6n-2}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=6(n+1)-2=6n+4}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=6n+4-(6n-2)=6n+4-6n+2=6}\)

\(\displaystyle{ r=6}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.


b)
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt2n+2}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt2(n+1)+2=\sqrt2n+2+\sqrt2}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\sqrt2n+2+\sqrt2-(\sqrt2n+2)=\sqrt2n+2+\sqrt2-\sqrt2n-2=\sqrt2}\)

\(\displaystyle{ r=\sqrt2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.

-- 19 maja 2009, o 10:01 --

ZAD. 3.
c)
\(\displaystyle{ a_n=13- \frac{1}{10} \cdot n}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=13- \frac{1}{10} \cdot (n+1)=13- \frac{1}{10} n- \frac{1}{10}=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-(13- \frac{1}{10}n)=12 \frac{9}{10}- \frac{1}{10}n-13+\frac{1}{10}n=- \frac{1}{10}}\)

\(\displaystyle{ r=- \frac{1}{10}}\), zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym.

-- 19 maja 2009, o 10:06 --

d)
\(\displaystyle{ a_n=n^2+n+1}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)+1=n^2+2n+1+n+1+1=n^2+3n+3}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=n^2+3n+3-(n^2+n+1)=n^2+3n+3-n^2-n-1=2n+2}\)

\(\displaystyle{ r=2n+2}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem arytmetycznym.

-- 19 maja 2009, o 10:28 --

ZAD. 5.

a)
\(\displaystyle{ a_n= \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n= 1+\frac{1}{n+1}-(1+\frac{1}{n})=1+\frac{1}{n+1}-1-\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.

b)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n}{n+1}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+1+1}=\frac{n+1}{n+2}}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-(n^2+2n)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest arytmetyczny.

-- 19 maja 2009, o 10:33 --

c)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(n-5)=\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{2}(n+1)-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-2}\)

\(\displaystyle{ r=a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}n-2-(\frac{1}{2}n-2\frac{1}{2})=\frac{1}{2}n-2-\frac{1}{2}n+2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest arytmetyczny.

-- 19 maja 2009, o 16:16 --

ZAD. 8.

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} a_5-a_3=27\\a_4-a_2=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 \cdot q^2-a_3=27\\a_2 \cdot q^2-a_2=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_3 (q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_2 \cdot q(q^2-1)=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 18q=27\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{27}{18}\\a_2 (q^2-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 ((\frac{3}{2})^2-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 (\frac{9}{4}-1)=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 \cdot \frac{5}{4}=18\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 =18\cdot \frac{4}{5}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_2 = \frac{72}{5}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot q = \frac{72}{5}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 \cdot \frac{3}{2}= \frac{72}{5}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{72}{5} \cdot \frac{2}{3}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= \frac{3}{2}\\a_1 = \frac{48}{5}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q= 1\frac{1}{2}\\a_1 = 9\frac{3}{5}\end{cases}}\)

-- 19 maja 2009, o 16:24 --

\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ a_n=\frac{48}{5} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}=\frac{48}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^n=\frac{32}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n=6\frac{2}{5} \cdot (\frac{3}{2})^n}\)

-- 19 maja 2009, o 16:30 --

ZAD. 8.
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_4=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q}=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-2^4}{1-2}=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{1-16}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot \frac{-15}{-1}=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \cdot 15=60\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 =4\\q=2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a_n=a_1 \cdot q^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ a_n=4 \cdot 2^{n-1}=2^2 \cdot 2^{n-1}=2^{2+n-1}=2^{1+n}=2^{n+1}}\)-- 19 maja 2009, o 17:04 --ZAD. 7.

a)
\(\displaystyle{ a_n=5 \cdot 7^n}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=5 \cdot 7^{n+1}=5 \cdot 7 \cdot 7^n=35 \cdot 7^n}\)

\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{35 \cdot 7^n}{5 \cdot 7^n}=7}\)

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem geometrycznym.


b)
\(\displaystyle{ a_n=7 \cdot n^2}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=7 \cdot (n+1)^2}\)

\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7 \cdot (n+1)^2}{7 \cdot n^2}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=(\frac{n+1}{n})^2}\)

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.


c)
\(\displaystyle{ a_n=3n+5}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=3(n+1)+5 =3n+3+5=3n+8}\)

\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3n+8}{3n+5}=1+\frac{3}{3n+5}}\)

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.


d)
\(\displaystyle{ a_n=n^n}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(n+1) \cdot (\frac{n+1}{n})^n}\)

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.