looknij
klik
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
-
Zygmunt Freud
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 20:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków/Jarosław
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Nie uważam by było to przynajmniej pełne rozwiązanie, gdyż tamten użytkownik przedstawił jedynie szczególny przypadek tego zadania - nie uwzględnił sytuacji, gdy np. istnieje przynajmniej jeden wycięty trójkąt, którego każdy bok nie pokrywa się z bokami wielokąta.
-
Rush
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 27 wrz 2008, o 08:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k. Jarosławia
- Pomógł: 5 razy
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Oznaczmy przez S pole wielokata, P polowe jego obwodu, \(\displaystyle{ p_{i}}\) polowy obwodow odpowiednich trojkatow i analogicznie przez \(\displaystyle{ r_{i}}\) promienie odpowiednich okregow.
Zauwazmy teraz, ze zachodzi:
\(\displaystyle{ P*(r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}) > p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}+...+p_{n}r_{n}= S = P*R}\)
c.k.d
Pierwsza nierownosc jest oczywista, nastepna rownosc to odpowiednie wzory na pole trojkata, ostatnia zas to wzor na pole wielokata opisanego na okregu.
Zauwazmy teraz, ze zachodzi:
\(\displaystyle{ P*(r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}) > p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}+...+p_{n}r_{n}= S = P*R}\)
c.k.d
Pierwsza nierownosc jest oczywista, nastepna rownosc to odpowiednie wzory na pole trojkata, ostatnia zas to wzor na pole wielokata opisanego na okregu.
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Tak Kopernik wita ;] pozdro dla ziomalkow do zoba jzu jutro :d
-
frej
-
xanowron
- Użytkownik
- Posty: 1934
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Fail, zwaliłem okropnie
Zadania z drugiego etapu:
1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{34}{15}} \cdot (a+b+c+d) \ge 15 \cdot a^{\frac{1}{15}} \cdot b^{\frac{2}{15}} \cdot c^{\frac{4}{15}} \cdot d^{\frac{8}{15}}}\)
2. Znajdź najmniejszą wartość ułamka:
\(\displaystyle{ \frac{x^{4}+x^{2}+5}{(x^{2}+1)^{2}}}\)
3. Oblicz pole figury F, która jest zbiorem wszystkich punktów (x,y) spełniających nierówność:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 2 \cdot (|x|+|y|)}\)
4. W trójkącie o danym polu \(\displaystyle{ S}\) na bokach \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) obrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|}= \frac{|CE|}{|EA|}= \frac{|AF|}{|FB|}= k}\) \(\displaystyle{ (k>0)}\). Oblicz pole trójkąta DEF
5. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) wartości nieparzyste, to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Ja w drugim na pałe od razu z pochodnej policzyłem, w 3 chyba dobrze i w 5 mam dowód na 2 strony w postaci wypracowania który jest w połowie chyba ściemą i na dodatek chyba myliłem sobie \(\displaystyle{ f(x)}\) z \(\displaystyle{ W(x)}\), ale myślę, że się nie będą bardzo czepiać tego.
Zadania z drugiego etapu:
1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{34}{15}} \cdot (a+b+c+d) \ge 15 \cdot a^{\frac{1}{15}} \cdot b^{\frac{2}{15}} \cdot c^{\frac{4}{15}} \cdot d^{\frac{8}{15}}}\)
2. Znajdź najmniejszą wartość ułamka:
\(\displaystyle{ \frac{x^{4}+x^{2}+5}{(x^{2}+1)^{2}}}\)
3. Oblicz pole figury F, która jest zbiorem wszystkich punktów (x,y) spełniających nierówność:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 2 \cdot (|x|+|y|)}\)
4. W trójkącie o danym polu \(\displaystyle{ S}\) na bokach \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) obrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|}= \frac{|CE|}{|EA|}= \frac{|AF|}{|FB|}= k}\) \(\displaystyle{ (k>0)}\). Oblicz pole trójkąta DEF
5. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) wartości nieparzyste, to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Ja w drugim na pałe od razu z pochodnej policzyłem, w 3 chyba dobrze i w 5 mam dowód na 2 strony w postaci wypracowania który jest w połowie chyba ściemą i na dodatek chyba myliłem sobie \(\displaystyle{ f(x)}\) z \(\displaystyle{ W(x)}\), ale myślę, że się nie będą bardzo czepiać tego.
Ostatnio zmieniony 9 maja 2009, o 14:30 przez xanowron, łącznie zmieniany 1 raz.
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Zadania z drugiego etapu (poziom I):
1.Wykaż, że rozwiązaniem równania: \(\displaystyle{ 2x ^{2} +y ^{2} -2x-2xy+1=0}\), jest dokładnie jedna para liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\).
2.Sieczna i styczna do danego okręgu, poprowadzone z tego samego punktu K są do siebie prostopadłe. Oblicz promień tego okręgu, jeżeli odległość punktu styczności od punktu K jest równa \(\displaystyle{ 24cm}\), a cięciwa wyznaczona przez ten okrąg na siecznej ma długość \(\displaystyle{ 20cm}\).
3.W trapezie kąty przy dłuższej podstawie mają miary 30 stopni oraz 45 stopni. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiesz, że różnica kwadratów długości podstaw tego trapezu jest równa \(\displaystyle{ 100cm ^{2}}\).
4.Sprawdź, czy ułamek U= \(\displaystyle{ \frac{36 \cdot 18 ^{n} - 8 \cdot 2 ^{n-4} \cdot 9 ^{n} - 3 ^{n+1} \cdot 6 ^{n+1} }{18 ^{n-1} }}\) ,gdzie n jest liczba naturalną, spełnia nierówność \(\displaystyle{ U \le pi \cdot 100}\).
5.Pies dostrzegł w odległości 60m lisa i rozpoczął pościg. Skok psa ma długość 2m, a skok lisa ma długość 1m. Pies daje dwa skoki w tym samym czasie, w którym lis daje trzy skoki. Ile metrów musi przebyć pies, aby dogonić lisa?
1.Wykaż, że rozwiązaniem równania: \(\displaystyle{ 2x ^{2} +y ^{2} -2x-2xy+1=0}\), jest dokładnie jedna para liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\).
2.Sieczna i styczna do danego okręgu, poprowadzone z tego samego punktu K są do siebie prostopadłe. Oblicz promień tego okręgu, jeżeli odległość punktu styczności od punktu K jest równa \(\displaystyle{ 24cm}\), a cięciwa wyznaczona przez ten okrąg na siecznej ma długość \(\displaystyle{ 20cm}\).
3.W trapezie kąty przy dłuższej podstawie mają miary 30 stopni oraz 45 stopni. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiesz, że różnica kwadratów długości podstaw tego trapezu jest równa \(\displaystyle{ 100cm ^{2}}\).
4.Sprawdź, czy ułamek U= \(\displaystyle{ \frac{36 \cdot 18 ^{n} - 8 \cdot 2 ^{n-4} \cdot 9 ^{n} - 3 ^{n+1} \cdot 6 ^{n+1} }{18 ^{n-1} }}\) ,gdzie n jest liczba naturalną, spełnia nierówność \(\displaystyle{ U \le pi \cdot 100}\).
5.Pies dostrzegł w odległości 60m lisa i rozpoczął pościg. Skok psa ma długość 2m, a skok lisa ma długość 1m. Pies daje dwa skoki w tym samym czasie, w którym lis daje trzy skoki. Ile metrów musi przebyć pies, aby dogonić lisa?
Ostatnio zmieniony 9 maja 2009, o 14:30 przez sokool928, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Rush
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 27 wrz 2008, o 08:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k. Jarosławia
- Pomógł: 5 razy
IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei
Jezeli chodzi o poziom 1 to zadania trywialne. Zdupilem jedynie po czesci zadanie 2, nie mialem pomyslu i palowalem to potega punktu + twierdzeniem sinusow i nie dokonczylem.