Pole powierzchni walca

[Skynet]

Proszę o pomoc z tym zadaniem:

Obliczyć pole powierzchni walca \(\displaystyle{ S : y^{2}+z^{2}=r^{2}}\), ograniczonej walcem o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=r^{2}}\)

[luka52]

Najpierw zająłbym się obliczaniem tylko górnej części (wynik potem x2). Tj. pow. o r. \(\displaystyle{ z = \sqrt{r^2-y^2}}\) wew. walca \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = r^2}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \mbox{d}y \, = \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - y^2}} \, \mbox{d}y \, }\)
A pole wyniesie:
\(\displaystyle{ S_{1/2} = 4r \int\limits_0^1 \int\limits_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \sqrt{\frac{1}{r^2 - y^2}} \, \mbox{d}y \, = 4r \int\limits_0^1 \arcsin \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r} \, = 4r^2}\)
Mnożąc razy 2 wyjdzie \(\displaystyle{ 8r^2}\) (co jest prawidłowym wynikiem zdaje się).
Problem może stanowić ta ostatnia całka z arcus sinusem.

Tutaj jest identyczny temat z inną metodą: Pole powierzchni ograniczonej dwoma walcami

[Skynet]

Dzięki za pomoc. Mi udało się rozwiązać w taki sposób jak podałeś w linku.

[luka52]

A tak btw to jeżeli w tej całce co podałem zamienimy kolejność całkowania, wynik można bardzo szybko otrzymać a i rachunków będzie mniej

[Skynet]

Przepraszam, za małego offtopa, ale ile Ty siedzisz już w tej analizie i ogólnie matmie??

[luka52]

Tak szybko szacując to nieco ponad 2 lata (jeśli chodzi o analizę samą)

[bagienny]

A tak btw to jeżeli w tej całce co podałem zamienimy kolejność całkowania, wynik można bardzo szybko otrzymać a i rachunków będzie mniej

Um, a byłbys tak łaskawy i pokazał jak ta całka będzie się po tej zamianie prezentować?

[luka52]

Teraz widzę, że wkradł się mały błąd - ma być r zamiast 1 w górnej granicy całkowania.
W każdym razie zmieniając kolejność całkowania otrzymamy:

\(\displaystyle{ \int\limits_0^r \int\limits_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \sqrt{\frac{1}{r^2 - y^2}} \, \mbox{d}y \, \mbox{d}x = \int\limits_0^r \int\limits_0^{\sqrt{r^2-y^2}} \sqrt{\frac{1}{r^2 - y^2}} \, \mbox{d}x \, \mbox{d}y \stackrel{\star}{=}}\)

Zmiana kolejności jest tu o tyle przyjemna, że granice całkowania się "nie zmienią" (na pierwszy rzut oka)

\(\displaystyle{ \stackrel{\star}{=} \int_0^r \frac{1}{\sqrt{r^2 - y^2}} \cdot \sqrt{r^2 - y^2} \; \mbox d y = \int_0^r \; \mbox d y = r}\)