Oblicz granice

[green_01]

Oblicz granice:

\(\displaystyle{ (\frac{n}{n+1} )^n}\)

i
wytlumaczyc jak obliczyc ta:

\(\displaystyle{ cos1/n}\)


z gory dzieki

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft( \frac{n}{n+1}\right)^n=
\lim_{n\to\infty} ft( \frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=
\lim_{n\to\infty} ft( 1+\frac{-1}{n+1}\right)^n=
\lim_{n\to\infty} ft[\left( 1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-1}}\right]^{\frac{-n}{n+1}}=
e^{-1}}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \cos \frac{1}{n}=
\cos \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=
\cos 0=1}\)

Pozdrawiam.

[green_01]

OK, a taki ciag:

ntg1/n

[soku11]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n\tan\frac{1}{n}=
\lim_{n\to\infty} n\frac{ \sin\frac{1}{n} }{ \cos \frac{1}{n} }=
\lim_{n\to\infty} \frac{ \sin\frac{1}{n} }{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{ \cos \frac{1}{n} }=
1\cdot \frac{1}{1}=1}\)

Pozdrawiam.

[green_01]

OK, rozumiem do momentu sin/cos ale co sie stalo z tym n przed tg? I dlaczego pozniej jest takie mnozenie?

[soku11]

\(\displaystyle{ n=\frac{1}{\frac{1}{n}}}\)

Dalej policzylem juz granice korzystajac z wlasnosci, ze:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0} \frac{\sin a\cdot n}{a\cdot n}=1\;\Rightarrow\;
\lim_{n\to } \frac{\sin \frac{a}{n}}{\frac{a}{n}}=1\\}\)

Oraz z granicy wyliczonej wyzej Pozdrawiam.

[Iza121]

A ja nie rozumiem, skąd się tam w tym 1. w liczniku wzięło n+1-1 ?

[Frey]

1-1=0 czyli jak do n dodamy 1 i odejmiemy 1 to tak jakbyśmy dodali 0. A zero jest elementem neutralnym dodawania.