Oblicz granicę ciągu

[_m_]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n }\sqrt[n]{7^n+n}=7}\)

Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów.
luka52

[nuclear]

wyciągnij z nawiasu pod pierwiastkiem 7^n czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{7^n(1+\frac{n}{7^n})}= \lim_{n\to } 7\sqrt[n]{1+\frac{n}{7^n}}=7}\)

[_m_]

Sprowadziłeś to zadanie do dowodu na \(\displaystyle{ \lim_{n }{ \sqrt[n]{1+ \frac{n}{7^n}}}=1}\). Wiem, że to jest prawdziwe, ale jak mam to udowodnić

edit... bo to co napisałem było bzdurą.

[Suvi]

\(\displaystyle{ \lim_{n }\sqrt[n]{7^n+n}=7}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n} \leqslant \sqrt[n]{7^n+n} \leqslant \sqrt[n]{2\cdot7^n}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n} 7}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2\cdot7^n}=7\cdot \sqrt[n]{2} 7}\)
może tak lepiej? chyba, że chodzi Ci o taki dowód z definicji?;]

[_m_]

Super
Jeszcze tylko jedno. Jak dowodzi się, że np. \(\displaystyle{ 7^n>n}\). Wiem że głupie pytanie, ale osoba, która zadaje mi te zadania, lubi się o wszystkie takie rzeczy czepiać

[nuclear]

w sumie można przyjąć, nie chce mi się szukać dowodu, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{W(x)}{a^x}=0}\) oczywiście a>1 czyli każdy wielomian wolniej rośnie niż funkcja wykładnicza.

[Suvi]

hmm.. na chłopski rozum można stwierdzić że wykres \(\displaystyle{ f(n)=7^n}\) rośnie szybciej i jest ponad wykresem \(\displaystyle{ f(n)=n}\).. ;D

a mniej łopatologicznie można dowieść to z indukcji.

[Wasilewski]

A sam dowód, że ta granica jest równa 0 można znaleźć tutaj .