\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n^k}{a^n}}\)
a>1, k właściwie dowolne, ale weźmy k>0
Jak to policzyć? Albo jak udowodnić, że to jest równe 0? . Wiem, że trzeba skorzystać z tego, że istnieje takie N, że dla każdego n>N jest \(\displaystyle{ n^k>a^n}\) ale nie mam pojęcia jak ten fakt udowodnić...
Może w ten sposób: \(\displaystyle{ a^{n} = (1+\lambda)^n = 1 + n\lambda \ldots + \lambda^{n} > \frac{n(n-1)}{2} \lambda^{2}}\)
Mamy od pewnego n: \(\displaystyle{ n-1 > \frac{1}{2}n}\)
Wobec tego dostajemy nierówność: \(\displaystyle{ a^{n} > \frac{\lambda^{2}}{4} n^{2} = \frac{(a-1)^2}{4} n^{2} \\
\frac{a^{n}}{n} > \frac{(a-1)^2}{4} n}\)
Wobec tego otrzymujemy: \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a^{n}}{n}= \infty}\)
I teraz dla dowolnego k>1 (zachodzi oczywiście od pewnego n): \(\displaystyle{ \frac{a^{n}}{n^{k}} = \left[ \frac{(a^{\frac{1}{k}})^{n}}{n} \right]^{k} > \frac{(a^{\frac{1}{k}})^{n}}{n}}\)
Wobec poprzednio wyliczonej granicy również i to wyrażenie dąży do nieskończoności. Oczywiście dla pozostałych wartości k ta granica jest również prawdziwa (tym bardziej). A to rozwiązuje podany przez Ciebie przykład.
. Wiem, że trzeba skorzystać z tego, że istnieje takie N, że dla każdego n>N jest \(\displaystyle{ n^k>a^n}\) ale nie mam pojęcia jak ten fakt udowodnić...