równanie różniczkowe, rozwiązać metodą uzmienniania stałej

[tyrdax]

\(\displaystyle{ y''-2y'= e^{2x}}\)
myslalem nad podstawieniem
wychodzi \(\displaystyle{ r ^{2} -2r=0}\)
\(\displaystyle{ r=0 \; \; r=2}\)
wychodzi z tego
\(\displaystyle{ y=C _{1}e ^{0x}+C _{2} e ^{2x}}\)
\(\displaystyle{ y=C _{1}+C _{2} e ^{2x}}\)
I teraz co dalej?
na stronie pl.wikibooks znalazlem jeden przyklad "Metoda uzmienniania stałej na przykładzie" ale nie jestem pewien czy to jest tam dobrze zrobione. Moze mi kitos pomoc?
I czy gdy wylicze \(\displaystyle{ C'_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ C'_{2}}\) trzeba cos jeszcze liczyc.
Powodzenia:)

Zapoznaj się z instrukcją LaTeX-a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52

[luka52]

Podstaw \(\displaystyle{ p=y'}\) - otrzymasz równanie rzędu I, które łatwo rozwiązać metodą uzmiennania stałej. A mając funkcję \(\displaystyle{ p}\), wyznaczenie \(\displaystyle{ y}\) to tylko jedno całkowanie.

[tyrdax]

Przeciez to napisalem wlasnie.. Chodzi mi o wytlumaczenie czesci zadania ktore powminales..

[luka52]

Przeciez to napisalem wlasnie..

Ciekawe gdzie
Jest różnica czy uzmienniasz jedną czy więcej stałych...

[tyrdax]

Pewnie masz racje. Moglbys rozpisac rozwiazanie tego przykladu? Bo diabel tkwi w szczegolach:) Pozdrawiam

[luka52]

Sprawa jest bardzo prosta - wpierw rozwiązujesz równanie jednorodne.
Mając rozwiązanie - \(\displaystyle{ p = C e^{2x}}\), uzmienniasz stałą. Czyli zamiast \(\displaystyle{ C}\) pojawia się \(\displaystyle{ C(x)}\). Zatem musimy podstawić \(\displaystyle{ (*) \; \; p(x) = C(x) e^{2x}}\) do równania \(\displaystyle{ p' - 2p = e^{2x}}\) i wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ C}\). Mając ją wyznaczoną wstawiamy ją do równania (*) i całkujemy tak, by znaleźć ostatecznie wzór funkcji \(\displaystyle{ y}\).