[MIX] Mix matematyczny (1)

[Piotr Rutkowski]

7)

Niech \(\displaystyle{ a+b+c=S}\). Korzystając z tego, co pokazał mól książkowy, przyjmę \(\displaystyle{ S=1}\).

\(\displaystyle{ (1+\frac{4a}{b+c})(1+\frac{4b}{c+a})(1+\frac{4c}{a+b})>25}\)
\(\displaystyle{ (1+\frac{4a}{S-a})(1+\frac{4b}{S-b})(1+\frac{4c}{S-c})>25}\)
\(\displaystyle{ (1+\frac{4a}{1-a})(1+\frac{4b}{1-b})(1+\frac{4c}{1-c})>25}\)
\(\displaystyle{ (\frac{3a+1}{1-a})(\frac{3b+1}{1-b})(\frac{3c+1}{1-c})>25}\)

\(\displaystyle{ (3a+1)(3b+1)(3c+1) > 25(1-a)(1-b)(1-c)}\)

\(\displaystyle{ 27abc+9ab+9bc+9ca+3a+3b+3c + 1> -25abc+25ab+25bc+25ca-25a-25b-25c+25}\)
\(\displaystyle{ 52abc+4>16ab+16bc+16ca}\)

\(\displaystyle{ 13abc+1>4ab+4bc+4ca}\)

\(\displaystyle{ 13abc+(a+b+c)^{3}>(4ab+4bc+4ca)(a+b+c)}\)

\(\displaystyle{ 13abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b +6abc> 4a^{2}b+4a^{2}c+4b^{2}a+4b^{2}c+4c^{2}a+4c^{2}b+12abc}\)
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc > a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b}\)

\(\displaystyle{ 5abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)

Co jest na mocy nieróności \(\displaystyle{ abc \geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\) oczywiście prawdziwe.

Świetnie, moje rozwiązanie:

Weźmy sobie na pałę od razu sprowadźmy wyrazy w nawiasach do wspólnego mianownika i wymnóżmy.
\(\displaystyle{ \prod_{cyc}(\frac{4a+b+c}{b+c})>25}\)
Po wymnożeniu przez iloczyn mianowników otrzymujemy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ (78abc+(21\sum_{cyc}a^{2}(b+c))+4(\sum_{cyc}a^{3})>50abc+25\sum_{cyc}a^{2}(b+c))\iff \\ 4(\sum_{cyc}a^{3})+28abc>4\sum_{cyc}a^{2}(b+c)}\)
Na mocy nierówności Schura otrzymujemy
\(\displaystyle{ 4(\sum_{cyc}a^{3})+28abc>4(\sum_{cyc}a^{3})+12abc=(4\sum_{cyc}a^{3}+abc\geq 4\sum_{cyc}a^{2}(b+c))\iff \\ \sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq 0}\), zatem nasza nierówność jest prawdziwa

No, zostało już tylko 8

[limes123]

Nie takie proste to 8:P ciekawe czy to, że mają nie występować 4,5,6 jest specjalnie czy trzeba coś mocniejszego udowodnić.

[Piotr Rutkowski]

Nie takie proste to 8:P ciekawe czy to, że mają nie występować 4,5,6 jest specjalnie czy trzeba coś mocniejszego udowodnić.

Nie chcę nic podpowiadać, ale zadanie wygląda tylko pozornie trudno W rzeczywistości jest IMHO dużo prostsze niż np. 10

[Brzytwa]

Trudności zadań linijką się nie mierzy Dla mnie 10 jest o niebo prostsze.

[chris139]

Ja też uważam 10 za prostsze bo 8 to jest dla mnie na ten moment nie do ruszenia

[soliter]

Rozważmy potęgi 10. Skoro reszt z dzielenia przez 1234! jest skończenie wiele, to istnieją takie dwie potęgi...

[Piotr Rutkowski]

Świetnie soliter!
Moje rozwiązanie opiera się na dokładnie tym samym pomyśle.

Rozwiązanie:
Udowodnijmy silniejsze twierdzenie:
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje jakaś jej wielokrotność, że składa się ona jedynie z zer i jednej z wybranych cyfr.
Rozważmy rekurencyjny ciąg liczb:
\(\displaystyle{ k\in \{1,2,...,9\} \\ a_{1}=k \ a_{l+1}=10a_{l}+k}\)
Rozważmy reszty z dzielenia przez n n+1 kolejnych wyrazów ciągu.
Z zasady szufladkowej Dirichleta wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \exists_{i,j\in \ \{1,2,...,n+1\} \ i> j} \ a_{i}\equiv a_{j} \ (modn)}\) Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ a_{i}-a_{j}}\) spełnia warunki tzn. jest podzielna przez n oraz składa się tylko z cyfr k oraz zer, co kończy nasze zadanie

Ok, to by było na tyle. Następny mix matematyczny wrzucę (jeśli oczywiście chcecie ) może za tydzień gdzieś bo jadę na wycieczkę niedługo
Btw. Jako, że będzie kontynuacja to macie może jakieś sugestie dotyczące samej formy? Zadania trudniejsze, łatwiejsze, inne działy, w ogóle kiepskie jest i nie robić w ogóle kolejnych edycji?

[chris139]

rzeczywiście nie takie złe to zadanie było a rozwiązanie samo w sobie przystępne

[limes123]

Fajne z tym ciągiem. Pewnie się przyda przy tego typu zadaniach:D no wrzucaj następny mix, bo ten był ciekawy.

[Brzytwa]

Hmm, jak dla mnie mogłyby być trudniejsze. No i jakąś geo mógłbyś wrzucić, mimo że pewnie większośś (do której oczywiście należę) nie przepada za nią.

[MarcinT]

bez gejo ani rusz na II etapie w obecnych realiach wiec faktycznie proponuje

[Piotr Rutkowski]

Hmm, jak dla mnie mogłyby być trudniejsze. No i jakąś geo mógłbyś wrzucić, mimo że pewnie większośś (do której oczywiście należę) nie przepada za nią.

bez gejo ani rusz na II etapie w obecnych realiach wiec faktycznie proponuje

Mhm, ok, postaram sie trochę podnieść średnią trudności zadań, chociaż będę starał się wrzucać tak jak dotychczas jedynie takie zadania, które sam umiałem zrobić, zatem jeśli wrzucę geometrię, to wtedy rozwiązanie zerżnę z wzorcówki (nawet nie liczę na to, że jakąś skomplikowaną zrobię samemu ). Ok, następny mix wrzucę jakoś za tydzień.

[Swistak]

A dla mnie były za trudne . Choć mną się nie musicie przejmować .
Geo faktycznie by się przydała. Ja należę do tej mniejszości, która ją lubi :].

[Einstein ;)]

Ja również (tak na marginesie)...

[Brzytwa]

Jako, że polskimisiek dopiero za tydzień wrzuci nową serię, pozwoliłem sobie wrzucić 8 prostych zadanek:

1.

a) Udowodnij, że \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) nie może być liczbą całkowitą dla żadnego \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\)

b)Przedstawmy sumę \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) w postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ b > \frac{n}{2}}\).


2. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\). Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie prostą nie przecinającą odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i niech \(\displaystyle{ R,S}\) będą rzutami punktów \(\displaystyle{ A,B}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\). Załóżmy, że punkty \(\displaystyle{ A,M,R}\) nie leżą na jednej prostej. Udowodnij, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ \Delta AMR}\) i okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ \Delta BSM}\) mają ten sam promień i że przecinają się na prostej \(\displaystyle{ k}\).


3. Wyznacz minimalną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ |7^{2k}-6^{n}|}\) dla dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ k,n}\).


4. Przez środek sfery \(\displaystyle{ S}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\) przechodzi sfera \(\displaystyle{ S_{1}}\) o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Załóżmy, że cięciwa \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) sfery \(\displaystyle{ S}\) jest styczna do sfery \(\displaystyle{ S_{1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Udowodnij, że

\(\displaystyle{ |AC|^{2}+|BC|^{2} qslant 2R^{2}+r^{2}}\)

5. Znajdź największą stałą \(\displaystyle{ k}\) taką, że nierówność

\(\displaystyle{ \frac{k abc}{a+b+c} qslant (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}}\)

zachodzi dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\).


6. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem wewnętrznym trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ \Delta ABC, \ P,Q,R}\) niech będą rzutami punktu \(\displaystyle{ M}\) na boki \(\displaystyle{ \overline{BC},\overline{CA}}\) i \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) odpowiednio. Udowodnij, że

\(\displaystyle{ S_{\Delta MAQ}+ S_{\Delta MBR}+ S_{\Delta MCP}= S_{\Delta MAR}+ S_{\Delta MBP}+ S_{\Delta MCQ}}\)

.


7. Nieh dany będzie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). Dla każdego punktu \(\displaystyle{ X}\) prostej \(\displaystyle{ l_{BC}}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) rzuty punktu \(\displaystyle{ X}\) na proste \(\displaystyle{ l_{AB}}\) i \(\displaystyle{ l_{AC}}\). Wyznacz położenie punktu \(\displaystyle{ X}\), dla którego długość \(\displaystyle{ |PQ|}\) jest minimalna.


8. Na prawej szalce wagi szalkowej leży ciężar o wadze 111 111 gram. Józio kładzie kolejno odważniki o wadze 1 gram, 2 gramy, 4 gramy, 8 gram, ...., itd. na prawej bądź na lewej szalce. W pewnym momencie szalki znalazły się w równowadze. Na której szalce Józio położył odważnik o wadze 16 gram?


Oczywiście ludzi z okręgu szczecińskiego proszę o nie podawanie rozwiązań.