[MIX] Mix matematyczny (1)

[Piotr Rutkowski]

Ok, postanowiłem wrzucić 10 zadanek żeby trochę rozruszać ten dział
Są w większości poniżej poziomu olimpijskiego (poza ostatnim), ale też wymagają trochę pracy, natomiast następne 10 wrzucę jak te będą wszystkie (albo prawie wszystkie rozwiązane).

1)Zbieżność szeregów

Udowodnić, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}}\) jest zbieżny, to wtedy zbiezny będzie także szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}}\).

2)Średnia potęgowa

Udowodnić, że p-ta średnia potęgowa tzn. \(\displaystyle{ (\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}}{n})^{\frac{1}{p}}}\) przy \(\displaystyle{ p\rightarrow 0}\) dązy do sredniej geometrycznej.

3)Ilość cyfr

Liczby \(\displaystyle{ 2^{2008}}\) oraz \(\displaystyle{ 5^{2008}}\) wypisano jedna za drugą. Znaleźć liczbę cyfr powstałej liczby.

4)Łatwa nierówność

Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R_{+}}}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ x+y=2}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2}\)

5)Proste równanie wielomianowe

Znajdź wszystkie wielomiany spełniające warunek \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} \ W(2x)=W(x)}\)

6)Szachownica
(z dedykacją dla mola i innych szachistów )

Skoczek stoi na polu a1. Znajdź schemat ruchów skoczka, po których przejdzie on na pole h8 zaliczając każde pole na szachownicy dokładnie jeden raz.

7)Nierówność

Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R_{+}}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (1+\frac{4a}{b+c})(1+\frac{4b}{c+a})(1+\frac{4c}{a+b})>25}\)

8)Łatwa teoria liczb

Rozstrzygnij czy \(\displaystyle{ \exists_{k\in \mathbb{N}}}\) takie, że w liczbie \(\displaystyle{ 1234!*k}\) nie występuje żadna z cyfr \(\displaystyle{ 4,5,6}\)

9)Sprytne równanie

Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie \(\displaystyle{ \frac{3}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{4}{x-2} + \frac{4}{x-3} + \frac{1}{x-4} + \frac{3}{x-5} = 0}\)

10)Niezła kongruencja

Znajdź ostatnie trzy cyfry liczby \(\displaystyle{ 2009^{2008^{2007}}\)

Powodzenia

[Wasilewski]

No to na przykład 3 (chyba najprostsze ):
\(\displaystyle{ 2^{2008} = 10^{x} \\
2008 log2 = x}\)
Można na podstawie tego wysnuć niesamowity wniosek, że liczba cyfr liczby, to:
\(\displaystyle{ n = [x] + 1 \\
n_1 + n_2 = 605 + 1404 = 2009}\)

[binaj]

chyba źle
niech liczba\(\displaystyle{ 2 ^{2008}}\) ma k cyfr, a liczba\(\displaystyle{ 5^{2008}}\) ma m cyfr
\(\displaystyle{ 10^{k-1}}\)

[Wasilewski]

No tak, po prostu źle wpisałem drugą wartość. Poprawione. Mam bardzo głupi pomysł na czwarte, dlatego go zaprezentuję. Przejdźmy na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ r(sin\alpha + cos\alpha) = 2}\)
Łatwo odczytać z rysunku, że:
\(\displaystyle{ r \\
\frac{4}{r^2} = 1 + 2sin\alpha cos\alpha \\
sin\alpha cos\alpha = \frac{4-r^2}{2r^2}}\)
W nierówności mamy więc:
\(\displaystyle{ r^4 sin^{2}\alpha cos^{2} r^2 = r^6 \frac{(4-r^2)^2}{4r^4} = \frac{1}{4} r^2(4-r^2)^2 \\
t = r^2 t \\
\frac{1}{4} t(4-t)^2}\)
Funkcja ta jest malejąca w tym przedziale, więc największa wartość będzie dla 2:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} t(4-t)^2 qslant \frac{1}{4} 2 4 = 2}\)

[Piotr Rutkowski]

No tak, po prostu źle wpisałem drugą wartość. Poprawione. Mam bardzo głupi pomysł na czwarte, dlatego go zaprezentuje. Przejdźmy na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ r(sin\alpha + cos\alpha) = 2}\)
Łatwo odczytać z rysunku, że:
\(\displaystyle{ r \\
\frac{4}{r^2} = 1 + 2sin\alpha cos\alpha \\
sin\alpha cos\alpha = \frac{4-r^2}{2r^2}}\)
W nierówności mamy więc:
\(\displaystyle{ r^4 sin^{2}\alpha cos^{2} r^2 = r^6 \frac{(4-r^2)^2}{4r^4} = \frac{1}{4} r^2(4-r^2)^2 \\
t = r^2 t \\
\frac{1}{4} t(4-t)^2}\)
Funkcja ta jest malejąca w tym przedziale, więc największa wartość będzie dla 2:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} t(4-t)^2 qslant \frac{1}{4} 2 4 = 2}\)

Mhm, ciekawa metoda
Wstrzymam się jeszcze z umieszczeniem rozwiązania, bo jest dużo prostsza IMHO metoda.
Moje rozwiazanie do 3 było identyczne z rozwiązaniem binaja

[Brzytwa]

4)
\(\displaystyle{ x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^{6}}{32} qslant x^{4}y^{2}+y^{4}x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{6}+6x^{5}y-17x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}-17x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6} qslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y) (x^{5}+7x^{4}y-10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}-7xy^{4}-y^{5}) qslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2} (x^{4}+8x^{3}y-2x^{2}y^{2}+8xy^{3}+y^{4}) qslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2} ((x^{2}-y^{2})^{2}+8xy(x^{2}+y^{2})) qslant 0}\)

[ Dodano: 7 Maj 2008, 19:04 ]
6) Wystarczy zauważyć, że skoczek przemieszcza się z pola białego na czarne i odrwotnie. Pól jednych i drugich jest tyle samo, zatem ostatnie musi być innego koloru niż pierwsze. A oba przecież są czarne.

[Wasilewski]

5) No to napiszmy sobie:
\(\displaystyle{ a_{n} (2x)^n + a_{n-1} (2x)^{n-1} + \ldots a_1 (2x) + a_0 = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n} + \ldots + a_1 x + a_0 \\
a_n x^{n} (2^n-1) + a_{n-1}x^{n-1} (2^{n-1} - 1) + \ldots + a_1 x = 0}\)
Skoro ma tak być dla dowolnego x to wypadałoby, żeby ten wielomian był wielomianem stałych równym zero, czyli wszystkie współczynniki oprócz \(\displaystyle{ a_0}\) są zerowe. Rozwiązaniem równania są wszystkie wielomiany stałe.

Wstrzymam się jeszcze z umieszczeniem rozwiązania, bo jest dużo prostsza IMHO metoda.

W to nie wątpię.

[Piotr Rutkowski]

4)
\(\displaystyle{ x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^{6}}{32} \geqslant x^{4}y^{2}+y^{4}x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{6}+6x^{5}y-17x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}-17x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6} \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y) \cdot (x^{5}+7x^{4}y-10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}-7xy^{4}-y^{5}) \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2} \cdot (x^{4}+8x^{3}y-2x^{2}y^{2}+8xy^{3}+y^{4}) \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2} \cdot ((x^{2}-y^{2})^{2}+8xy(x^{2}+y^{2})) \geqslant 0}\)

Świetnie, moje rozwiazanie:
\(\displaystyle{ (x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2 )\iff \\ (x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 2)\iff \\ (a^{3}-2a^{2}+1\geq 0)}\) dla \(\displaystyle{ a=xy}\)
Ze średniej aryt.-geo. mamy, że \(\displaystyle{ a\in (0,1>}\) zatem nierówność:
\(\displaystyle{ (a^{3}-2a^{2}+1\geq 0)\iff ((a^{2}-2a+1)+(\frac{1}{a}-1)\geq 0)}\) jest prawdziwa

Rozwiązaniem równania są wszystkie wielomiany stałe.

Może konkretny dowód? (tzn. trochę nieściśle to napisałeś chociaż rozumowanie jest poprawne)

6) Wystarczy zauważyć, że skoczek przemieszcza się z pola białego na czarne i odrwotnie. Pól jednych i drugich jest tyle samo, zatem ostatnie musi być innego koloru niż pierwsze. A oba przecież są czarne.

Dokładnie

[Swistak]

Brzytwa napisał/a:

6) Wystarczy zauważyć, że skoczek przemieszcza się z pola białego na czarne i odrwotnie. Pól jednych i drugich jest tyle samo, zatem ostatnie musi być innego koloru niż pierwsze. A oba przecież są czarne.


Dokładnie

Dałbym se głowę uciąć, że widziałem szachownicę ponumerowaną kolejnymi polami, na które ma iść skoczek gdybym tego nie przeczytał 0_0.

[Wasilewski]

Mamy wielomian o współczynnikach:
\(\displaystyle{ b_n = a_n (2^{n} - 1)}\)
Chcemy, żeby był tożsamościowo równy 0, zatem wszystkie współczynniki muszą być równe 0, a jako, że dla \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\):
\(\displaystyle{ 2^{n} - 1 > 0}\)
to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1} = \ldots = a_1 = 0}\)
Idealnie ścisłe wysławianie się nigdy nie było moją mocną stroną.

[Piotr Rutkowski]

Brzytwa napisał/a:

6) Wystarczy zauważyć, że skoczek przemieszcza się z pola białego na czarne i odrwotnie. Pól jednych i drugich jest tyle samo, zatem ostatnie musi być innego koloru niż pierwsze. A oba przecież są czarne.


Dokładnie

Dałbym se głowę uciąć, że widziałem szachownicę ponumerowaną kolejnymi polami, na które ma iść skoczek gdybym tego nie przeczytał 0_0.

Bo taką pewnie widziałeś. Z tymże wtedy skoczek nie startuje z rogu i nie kończy w drugim rogu

[Brzytwa]

Brzytwa napisał/a:

6) Wystarczy zauważyć, że skoczek przemieszcza się z pola białego na czarne i odrwotnie. Pól jednych i drugich jest tyle samo, zatem ostatnie musi być innego koloru niż pierwsze. A oba przecież są czarne.


Dokładnie

Dałbym se głowę uciąć, że widziałem szachownicę ponumerowaną kolejnymi polami, na które ma iść skoczek gdybym tego nie przeczytał 0_0.

Bo taką pewnie widziałeś. Z tymże wtedy skoczek nie startuje z rogu i nie kończy w drugim rogu

Może kończyć w drugim rogu. Nie może być to tylko przeciwległy róg

[Swistak]

Ale ja byłbym pewien, że to przeciwległy róg . Jest też podobna zagadka z tego typu. Z szachownicy obcinamy 2 rogi. Jak pokryć tą szachownicę kostkami od domina, które mają wymiary 1x2 boki pól tak żeby żadna kostka nie wystawała i na każdym polu leżała tylko 1 kostka (da się !).

[Piotr Rutkowski]

Dałbym se głowę uciąć, że widziałem szachownicę ponumerowaną kolejnymi polami, na które ma iść skoczek gdybym tego nie przeczytał 0_0.

Bo taką pewnie widziałeś. Z tymże wtedy skoczek nie startuje z rogu i nie kończy w drugim rogu

Może kończyć w drugim rogu. Nie może być to tylko przeciwległy róg

Wiem, taka niedokładność językowa.
OK, jak na razie zrobione są 3,4,5,6
Co z pozostałymi?

[Brzytwa]

2)
\(\displaystyle{ \lim_{p \to 0 }\ln (\frac{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}}{n})^{\frac{1}{p}} = \lim_{p \to 0}\frac{1}{p} \ln \frac{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}}{n} = \lim_{ p \to 0} \frac{\ln(\frac{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}^{p}-1)}{n}+1)}{\frac{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}^{p}-1)}{n}} \frac{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}^{p}-1)}{p} \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln a_{i}= ln\sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n} a_{i}}}\)