trójkąty, stosunek boków

[Alex]

Jak rozwiązać te zadania?

1. W trójkącie ABC niech P będzie takim punktem leżącym na boku AC, że \(\displaystyle{ \frac{AP}{AC}=\frac{1}{4}}\), zaś Q punktem na boku CB takim, że \(\displaystyle{ \frac{CQ}{CB}=\frac{1}{3}}\). Niech X będzie punktem przecięcia prostych BP i AQ. W jakim stosunku prosta CX podzieli bok AB?

2. W trójkącie ABC środkowe wychodzące z wierzchołków B i C są prostopadłe. Można stąd wywnioskować, że \(\displaystyle{ CA^{2}+BA^{2}}\) równa się:
A. \(\displaystyle{ BC^{2}}\)
B. \(\displaystyle{ 2BC^{2}}\)
C. \(\displaystyle{ 3BC^{2}}\)
D. \(\displaystyle{ 4BC^{2}}\)
E. \(\displaystyle{ 5BC^{2}}\)

Proszę o pomoc.

[CiupaCiupaCiupa]

Co do 1, to z twierdzenia Cevy idzie szybko zrobić. Oznaczmy punkt przecięcia odcinka Ab przez K. Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}*\frac{BQ}{QC}*\frac{PC}{AP}=1

3CQ=CB

4AP=AC

BQ=BC-QC

PC=AC-AP

BQ=2QC

PC=3AP

\frac{AK}{KB}*\frac{2QC}{QC}*\frac{3AP}{AP}=1

\frac{AK}{KB}=1}\)Z tego od razu widać, że stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}=\frac{1}{7}}\)
Wynik się zgadza, czy coś sknociłem?

[Swistak]

Na pewno sknociłeś zapis w LaTeXie .

[ Dodano: 3 Maj 2008, 19:40 ]
Pomysł o skorzystaniu z Twierdzenia Cevy jest bardzo dobry, jednak obliczenia takie sobie.
Punkt P dzieli bok AC na odcinki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), a punkt Q dzieli bok CB na odicnki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Z twierdzenia Cevy: \(\displaystyle{ \frac{AK}{BK}\cdot \frac{AP}{PC}\cdot \frac{CQ}{BQ}=1 \ \ \frac{AK}{BK}\cdot 3\cdot2=1 \ \ \frac{AK}{KB}=\frac{1}{6}}\)

Przeanalizowałem Twój post i teoretycznie wszystko dobrze, jednak szukamy stosunku \(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}}\) i końcowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).

[CiupaCiupaCiupa]

Faktycznie! Teraz już wszystko jest dobrze.

[Alex]

dzięki

[JankoS]

Jak rozwiązać te zadania?
2. W trójkącie ABC środkowe wychodzące z wierzchołków B i C są prostopadłe. Można stąd wywnioskować, że \(\displaystyle{ CA^{2}+BA^{2}}\) równa się:
A. \(\displaystyle{ BC^{2}}\)
B. \(\displaystyle{ 2BC^{2}}\)
C. \(\displaystyle{ 3BC^{2}}\)
D. \(\displaystyle{ 4BC^{2}}\)
E. \(\displaystyle{ 5BC^{2}}\)

Proszę o pomoc.

Srodkowe dzielą się w stosunku 2:1. Z danych zadania i tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y ^{2}+4z ^{2}=a ^{2} \\4z ^{2}+y ^{2}=\frac{b ^{2}}{4}\\4y ^{2}+z ^{2}=\frac{c ^{2}}{4} \end{cases}.}\)
Po wyeliminowaniu x, y , z dostajemy odpowiedź E.