Jak rozwiązać te zadania?
1. W trójkącie ABC niech P będzie takim punktem leżącym na boku AC, że \(\displaystyle{ \frac{AP}{AC}=\frac{1}{4}}\), zaś Q punktem na boku CB takim, że \(\displaystyle{ \frac{CQ}{CB}=\frac{1}{3}}\). Niech X będzie punktem przecięcia prostych BP i AQ. W jakim stosunku prosta CX podzieli bok AB?
2. W trójkącie ABC środkowe wychodzące z wierzchołków B i C są prostopadłe. Można stąd wywnioskować, że \(\displaystyle{ CA^{2}+BA^{2}}\) równa się:
A. \(\displaystyle{ BC^{2}}\)
B. \(\displaystyle{ 2BC^{2}}\)
C. \(\displaystyle{ 3BC^{2}}\)
D. \(\displaystyle{ 4BC^{2}}\)
E. \(\displaystyle{ 5BC^{2}}\)
Proszę o pomoc.
trójkąty, stosunek boków
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 30 kwie 2008, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwna
- Pomógł: 3 razy
trójkąty, stosunek boków
Co do 1, to z twierdzenia Cevy idzie szybko zrobić. Oznaczmy punkt przecięcia odcinka Ab przez K. Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}*\frac{BQ}{QC}*\frac{PC}{AP}=1
3CQ=CB
4AP=AC
BQ=BC-QC
PC=AC-AP
BQ=2QC
PC=3AP
\frac{AK}{KB}*\frac{2QC}{QC}*\frac{3AP}{AP}=1
\frac{AK}{KB}=1}\)Z tego od razu widać, że stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}=\frac{1}{7}}\)
Wynik się zgadza, czy coś sknociłem?
\(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}*\frac{BQ}{QC}*\frac{PC}{AP}=1
3CQ=CB
4AP=AC
BQ=BC-QC
PC=AC-AP
BQ=2QC
PC=3AP
\frac{AK}{KB}*\frac{2QC}{QC}*\frac{3AP}{AP}=1
\frac{AK}{KB}=1}\)Z tego od razu widać, że stosunek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}=\frac{1}{7}}\)
Wynik się zgadza, czy coś sknociłem?
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
trójkąty, stosunek boków
Na pewno sknociłeś zapis w LaTeXie .
[ Dodano: 3 Maj 2008, 19:40 ]
Pomysł o skorzystaniu z Twierdzenia Cevy jest bardzo dobry, jednak obliczenia takie sobie.
Punkt P dzieli bok AC na odcinki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), a punkt Q dzieli bok CB na odicnki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Z twierdzenia Cevy: \(\displaystyle{ \frac{AK}{BK}\cdot \frac{AP}{PC}\cdot \frac{CQ}{BQ}=1 \ \ \frac{AK}{BK}\cdot 3\cdot2=1 \ \ \frac{AK}{KB}=\frac{1}{6}}\)
Przeanalizowałem Twój post i teoretycznie wszystko dobrze, jednak szukamy stosunku \(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}}\) i końcowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).
[ Dodano: 3 Maj 2008, 19:40 ]
Pomysł o skorzystaniu z Twierdzenia Cevy jest bardzo dobry, jednak obliczenia takie sobie.
Punkt P dzieli bok AC na odcinki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), a punkt Q dzieli bok CB na odicnki w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Z twierdzenia Cevy: \(\displaystyle{ \frac{AK}{BK}\cdot \frac{AP}{PC}\cdot \frac{CQ}{BQ}=1 \ \ \frac{AK}{BK}\cdot 3\cdot2=1 \ \ \frac{AK}{KB}=\frac{1}{6}}\)
Przeanalizowałem Twój post i teoretycznie wszystko dobrze, jednak szukamy stosunku \(\displaystyle{ \frac{AK}{KB}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{AK}{AB}}\) i końcowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 30 kwie 2008, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dziwna
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
trójkąty, stosunek boków
Srodkowe dzielą się w stosunku 2:1. Z danych zadania i tw. Pitagorasa:Alex pisze:Jak rozwiązać te zadania?
2. W trójkącie ABC środkowe wychodzące z wierzchołków B i C są prostopadłe. Można stąd wywnioskować, że \(\displaystyle{ CA^{2}+BA^{2}}\) równa się:
A. \(\displaystyle{ BC^{2}}\)
B. \(\displaystyle{ 2BC^{2}}\)
C. \(\displaystyle{ 3BC^{2}}\)
D. \(\displaystyle{ 4BC^{2}}\)
E. \(\displaystyle{ 5BC^{2}}\)
Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y ^{2}+4z ^{2}=a ^{2} \\4z ^{2}+y ^{2}=\frac{b ^{2}}{4}\\4y ^{2}+z ^{2}=\frac{c ^{2}}{4} \end{cases}.}\)
Po wyeliminowaniu x, y , z dostajemy odpowiedź E.