Nietypowe całki

[domin8]

Pomóżcie mi obliczyć te nietypowe całki:
\(\displaystyle{ \int (|x| +1)dx}\)
\(\displaystyle{ \int min(x,x^{2})dx}\)
\(\displaystyle{ \int |1-x^{2}|dx}\)
\(\displaystyle{ \int e^{|x|}dx}\)

[luka52]

Całki 1, 3 i 4 bez problemu można rozpisać na kilka korzystając z def. wartości bezwględnej.
Co do drugiej natomiast, to:
\(\displaystyle{ x^2 < x \iff x (x - 1) < 0 \iff x (0, 1)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \min \, (x,x^2) = ft\{ \begin{array}{lcl} x & \mbox{dla} & x q 0 \\ x^2 & \mbox{dla} & x (0, 1) \\ x & \mbox{dla} & x q 1 \end{array}}\)
I rozpisać na 3 całki.

[Qń]

No, moim zdaniem to nie będzie tak prosto. To co w drugim przykładzie miałoby być funkcją pierwotną będzie nieciągłe, więc i nieróżniczkowalne w 1, w trzecim - w 1 i -1, a w czwartym - w 0. Nie byłoby to problemem przy całce oznaczonej, ale jak jest nieoznaczona, to i owszem, bo funkcja pierwotna w takim razie nie istnieje. Natomiast w pierwszym wystarczy skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ \int ft| x\right| dx = \frac{x ft|x \right| }{2} + C}\)

Pozdrawiam.
Qń.

[luka52]

No nie jestem pewien. Druga funkcja podcałkowa jest funkcją ciągłą, a każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną. Stałe można tak dobrać, by i funkcja pierwotna była ciągła.

[_ludolfina_]

Panowie caleczka |x| to (x^2 + |x|)/2

[Emiel Regis]

Całka z |x| jest taka jak napisał Qń.
Natomiast co do reszty to bardziej skłaniam sie do tego co pisze luka52.
Chociażby weźmy czwarty przykład.
Tam wychodzi taka rodzina krzywych:
\(\displaystyle{ \int e^{|x|} dx = ft\{ \begin{array}{lcl} -e^{-x} +C & \mbox{dla} & x (-\infty,0] \\ e^x-2+C & \mbox{dla} & x (0, +\infty)\end{array}}\)

Każda funkcja ciągła ma swoją funkcję pierwotną i manipulując stałą da się ją wyznaczyć.

[Qń]

Ok, bredzę, wycofuję się .

Q.

[_ludolfina_]

Panie moderatorze Drizzt - nie zgodze sie z Panem
|x|= x*sgn(x) => poniewaz sgn jest liczba to mozna wyciagnąć przed calke a calka z x to (x^2/2 +C) ostatecznie mamy, ze calka z |x|dx jest sgn(x) * x^2/2

W moim wczesniejszym poscie tez byl blad

[luka52]

sgn(x) * x^2/2 a to daje nam |x|*x^2/2

Po pierwsze - do zapisu używaj LaTeX-a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
Po drugie - z Twojego rozumowania wynia, że \(\displaystyle{ \mbox{sgn}\, x = |x|}\) co prawdą oczywiście nie jest.
Jak już, to \(\displaystyle{ x \mbox{sgn} \, x = |x|}\)

[_ludolfina_]

tak za duzo o |x| co nie zmienia faktu ze oboje sie wczesniej pomylilismy a z mojego rozumowania tak nie wynika jak napisales bo przed implikacj anic nie bylo zmienione

[Emiel Regis]

Panie moderatorze Drizzt - nie zgodze sie z Panem

oczywiscie masz prawo... natomiast:

ostatecznie mamy, ze calka z |x|dx jest sgn(x) * x^2/2

...czyli dokładnie to co napisał Qń także lepiej sie zgadzać; )

[_ludolfina_]

co za blad z mojej strony hehe