0,(9) = 1 ??

gnome123 · Post autor: **gnome123** » 13 lis 2004, o 21:49

Witam!
Przed chwilką znalazłem w sieci "dowód", że 0,(9) = 1. Wyjaśniam :

Najpierw przykładzik na zamianę liczby z ułamka okresowego na zwykły :

x = 0,(3) //liczba, którą zamieniamy (0,33333333....)
10x = 3,(3) //liczba x pomnożona przez 10
10x - x = 3,(3) - 0,(3)
9x = 3 | /3
3x = 1 | /3
x = 1/3

Jak widać tutaj wszystko się zgadza. 1/3 = 0,(3) i tak jest w rzeczywistoci.

Zobaczmy jednak, co dzieje się gdy zamieniamy liczbę 0,(9) :

x = 0,(9)
10x = 9,(9)
10x - x = 9,(9) - 0,(9)
9x = 9 | /9
x = 1

Co tutaj jest źle? Przecież 0,(9) nie może być równe 1. Dlaczego w innych przypadkach metoda ta działa, a w przypadku 0,(9) nie działa. Czy są jeszcze jakieś inne liczny, dla których metoda ta nie działa? Może poprostu ja coś źle robię .

Bardzo proszę o pomoc.

TomciO · Post autor: **TomciO** » 13 lis 2004, o 21:53

Z tego co wiem to 0,(9) jest rowne 1.

gnome123 · Post autor: **gnome123** » 13 lis 2004, o 21:55

Moim zdaniem jest, ale tylko w przybliżeniu.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 13 lis 2004, o 21:57

x = 0,(9)
10x = 9,(9)
10x - x = 9,(9) - 0,(9)
9x = 9 | /9
x = 1

To jest wystarczający dowód na to, że 0,(9) jest równe jeden

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

gnome123 · Post autor: **gnome123** » 13 lis 2004, o 21:59

Czyli jak, nie ma tu żadnego błędu? Skoro tak, to czemu 0,(3) nie równa się 0,4?

Hetacz · Post autor: **Hetacz** » 13 lis 2004, o 22:00

TAK: 0,(9) = 1

Dowód:

Wiemy, że 0,9 < 0,(9)

1 - 0,9 > 1 - 0,(9)
0,1 > 1 - 0,(9)

I dalej:

1 - 0,99 > 1 - 0,(9)
0,01 > 1- 0,(9)

Analogicznie można pokazać, że różnica 1 - 0,(9) jest mniejsza od każdej z liczb 0,0001 ; 0,00001 itd. Tak więc róznica 1-0,(9) może yć tylko równa 0, wieć 0,(9)=1

Dowód z matematyka dla licealistów

gnicz · Post autor: **gnicz** » 13 lis 2004, o 22:02

Mozna inaczej:

0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Jak widac jest to szereg geometryczny w ktorym q = 0,1.

0,(9) = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1

Pozdrawiam, GNicz

gnome123 · Post autor: **gnome123** » 13 lis 2004, o 22:05

To już teraz wiem! Dzięki wszystkim za pomoc.

hamlet666 · Post autor: **hamlet666** » 2 lut 2005, o 19:35

Moze sie czepiam ale 0.(3) = 1/3 i to dziala w obydwie strony bo 1 dzielone przez 3 daje np.na kalkulatorze 0.3333333333333333333.... a jesli 0.(9)=1 to dlaczego 1/1 nie jest rowne 0.999999999999999999....? Moim zdaniem mamy tutaj pewna niedokladnosc albo poprostu nie potrafimy tego zapisac ...Ciagle mi cos w tym nie pasuje:)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 2 lut 2005, o 20:25

Patrz https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=22482#22482

Qwert_il · Post autor: **Qwert_il** » 2 lut 2005, o 21:51

mozna jeszdcze inaczej udowodnić:

0,(3) = 1/3 /*3
0,(9) = 1

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 20:01

x = 0,(9) | * 1000000.......
x*1000000..... = 999999...... | / 1000000....
x = 999999....../10000000......

był podany dowód:
x = 0,(9)
10x = 9,(9)
10x - x = 9,(9) - 0,(9)
9x = 9 | /9
x = 1

zobaczmy to samo gdy mamy 0.999
x = 0.999
10x = 9.99
10x-x = 9.99 - 0.999
9x = 8.991 | /9
x = 0.999

w linijce 10x = 9,(9) jest pewne "zaokrąglenie" lub tez wykoryztsanie tego że niekończoność - 1 = nieskończoność
gdy mnożymy przez 10 przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo
0.999 * 10 = 9.999 - 0.001*9
0.999999999999.... * 10 = 9.(9) - 0.(0)9
i dalej:
10x = 9.(9) - 0.(0)9
10x - x= 9.(9) - 0.(0)9 - 0.(9)
9x = 9 - 0.(0)9| /9
x = 1- 0.(0)1
i wszystko się zgadza

0.(9) dązy do jedynki co oznacza że osiąga wartość jeden w miejscu nieosiągalnym dla naszego umysłu
dlatego jedni zakladają że równa się 1, a drudzy że ona nie może osiągnąć 1 bo właśnie
0.(9) = 1 - 0.(0)1, gdzie liczba 0.(9) ma n miejsc po przecinku, liczba 0.(0) n-1, liczba 0.(0)1 n
tak samo 0.(9) - 0.(9) nie daje jednoznacznie zera, ponieważ liczba po przecinku n czyli niekosńczoność nie równa się innej n, zatem 1 jest tu tylko granicą której 0.(9) nie przekracza i NIE OSIĄGA...
pozdrawiam

g · Post autor: g » 3 lut 2005, o 20:28

2505 pisze:0.(9) dązy do jedynki co oznacza że osiąga wartość jeden w miejscu nieosiągalnym dla naszego umysłu
dlatego jedni zakladają że równa się 1, a drudzy że ona nie może osiągnąć 1 bo właśnie
0.(9) = 1 - 0.(0)1, gdzie liczba 0.(9) ma n miejsc po przecinku, liczba 0.(0) n-1, liczba 0.(0)1 n
tak samo 0.(9) - 0.(9) nie daje jednoznacznie zera, ponieważ liczba po przecinku n czyli niekosńczoność nie równa się innej n, zatem 1 jest tu tylko granicą której 0.(9) nie przekracza i NIE OSIĄGA...
pozdrawiam

brednie
zapis "0,(9)" oznacza granice ciagu 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; , ... czyli jeden.

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 20:44

granice! a nie że jest to równe 1

tak samo
1/nieskończoność = 0 ale to 0 jest GRANICĄ czyli to oznacza że
1/nieskończoność nie może być

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 21:37

sa rozne rodzaje nieskonczonosci i dopoki sie nie sprecyzuje o jaka chodzi (to znaczy dopoki sie nie policzy granicy) to nie wiemy i np \(\displaystyle{ \infty - }\)okreslamy jako "nieoznaczonosc".