dzielniki zera i el.odwracalne

[agulka1]

Wyznaczyć wszystkie dzielniki zerai elemenety odwracalne w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{a+bi, a \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}\}}\)

[mol_ksiazkowy]

... ite_Gaussa

[Arek]

W Wikipedii nie ma zbyt wielu wyjaśnień, wiec może krótko:

1) Gdyby w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) istniał dzielnik zera, to oznacza, ze dla pewnego: \(\displaystyle{ a + bi 0}\) istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:

\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 0}\)

Jest to sytuacja trudna do wyobrażenia. Wystarczy wziąć moduł (zwyczajny moduł liczby zespolonej) i szybko okazuje się, że lewa strona ma zgodnie z założeniem moduł niezerowy, prawa zaś ma moduł 0. Tak więc w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) nie ma dzielników zera.

2) Elementy odwracalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to takie \(\displaystyle{ a + bi 0}\), że istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:

\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 1}\)

Identyczna sztuczka: przechodzimy do modułu. Dostajemy równanie w liczbach całkowitych:

\(\displaystyle{ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1}\)

Stąd już gołym okiem widać, że są dokładnie 4 dzielniki zera: \(\displaystyle{ \{1,-1,i,-i\}}\)