dzielniki zera i el.odwracalne
dzielniki zera i el.odwracalne
Wyznaczyć wszystkie dzielniki zerai elemenety odwracalne w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{a+bi, a \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}\}}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11586
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
dzielniki zera i el.odwracalne
W Wikipedii nie ma zbyt wielu wyjaśnień, wiec może krótko:
1) Gdyby w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) istniał dzielnik zera, to oznacza, ze dla pewnego: \(\displaystyle{ a + bi 0}\) istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 0}\)
Jest to sytuacja trudna do wyobrażenia. Wystarczy wziąć moduł (zwyczajny moduł liczby zespolonej) i szybko okazuje się, że lewa strona ma zgodnie z założeniem moduł niezerowy, prawa zaś ma moduł 0. Tak więc w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) nie ma dzielników zera.
2) Elementy odwracalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to takie \(\displaystyle{ a + bi 0}\), że istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 1}\)
Identyczna sztuczka: przechodzimy do modułu. Dostajemy równanie w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1}\)
Stąd już gołym okiem widać, że są dokładnie 4 dzielniki zera: \(\displaystyle{ \{1,-1,i,-i\}}\)
1) Gdyby w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) istniał dzielnik zera, to oznacza, ze dla pewnego: \(\displaystyle{ a + bi 0}\) istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 0}\)
Jest to sytuacja trudna do wyobrażenia. Wystarczy wziąć moduł (zwyczajny moduł liczby zespolonej) i szybko okazuje się, że lewa strona ma zgodnie z założeniem moduł niezerowy, prawa zaś ma moduł 0. Tak więc w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) nie ma dzielników zera.
2) Elementy odwracalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to takie \(\displaystyle{ a + bi 0}\), że istnieje niezerowy element \(\displaystyle{ c + di}\), taki, że:
\(\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = 1}\)
Identyczna sztuczka: przechodzimy do modułu. Dostajemy równanie w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1}\)
Stąd już gołym okiem widać, że są dokładnie 4 dzielniki zera: \(\displaystyle{ \{1,-1,i,-i\}}\)