Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

[joannna]

Np obliczyc calke 1/2δ-ydx+xdy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonym krzywymi: y=1 y-x=1 y=0 i y=lnx skierowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara

[luka52]

Popraw temat "czy ktos umie takie zadanka" to chyba nie najlepsze sformuowanie jeśli chodzi o temat.
Zapis jest mało czytelny - zapoznaj się z instrukcją LaTeX-a i popraw swój zapis https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

[joannna]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \oint}\)-ydx+xdy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonym krzywymi y=1, y-x=1, y=0 i y=lnx skierowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara

[luka52]

Korzystając z Twierdzenia Greena, możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \oint - y \, dx + x \, dy = \frac{1}{2} \iint\limits_D \left(1 - (-1) \right) \, dx \, dy = \iint\limits_D \, dx \, dy = \int\limits_0^1 \, dy \int \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = \ldots}\)
Czyli po prostu pole obszaru ograniczonego przez kontur \(\displaystyle{ L}\).

[joannna]

dzieki wielkie wlasnie przerabiam zadania egzaminowe wieczorkiem znowu bede robic fajnie jakbys mial chwile bo mam jeszcze pare takich co nie umiem bardzo dziekuje

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 14:19 ]
Czy mógłbys jeszcze takie cos rozwiazac bo nie mielismy takich zadan na cwiczeniach i nie mam odp
Zad1
W punkcie P(x,y) okregu x=acos t, y=asint przyłożono siłę \(\displaystyle{ \vec{F}}\)(x,y,z)=[x+y,2x] Obliczyc prace siły F po tym okręgu
Zad2
Korzystajac z tw Greena'a obliczyc
\(\displaystyle{ \oint_{C}}\) 2 \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})dx+(x+y)^{2}}\)dy
gdzie C jest trójkątem ABC o wierzchołkach A(1,1),B(2,2),C(1,3) skierowanym dodatnio
Zad 3
Wykazac ze calka \(\displaystyle{ \int_{AB}}\)x dx+ydy A(0,1) B(3,-4)
nie zalezy od drogi calkowania a nastepnie obliczyc te calke ...zadanie tego typu wogole nie wiem jak robic nie wiem jakie funkcje mam wybrac zeby przechodzily przez te pkt myslalam ze juz cos logicznego wymyslialm sama ale juz 2 razy nie zdalam z analizy i chyba jednak cos nie bardzo umiem do konca jak bedziesz mial chwile to bede wdzieczna

[Kasiula@]

ad zad3

Ogólnie dla płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{F}=[P,Q]}\). Jezeli istnieje funkcja \(\displaystyle{ U:D\rightarrow R}\)(gdzie D jest obszarem na którym okreslona jest siła F),taka że:
\(\displaystyle{ P=\frac{\partial U}{\partial x}, Q=\frac{\partial U}{\partial x}}\),
to wówczas całka z Pdx+Qdy nie zależy od drogi całkowania.

U Ciebie istnieje taka funkcja U, \(\displaystyle{ U=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})+C}\),czyli dana całka nie zalezy od drogi całkowania.

Majac dwa punkty A i B oraz wiedząc,że całka nie zależy od drogi wybieramy najprostsza drogę jaka jest prosta. Parametryzujemy tę prostą:
\(\displaystyle{ x=3t,y=1-5t}\),gdzie \(\displaystyle{ t [0,1]}\)
\(\displaystyle{ dx=3dt,dy=-5dt}\)
Podstawiamy do całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}3t 3dt + (1-5t) (-5dt)=12}\)

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:13 ]
ad zad2
wzór Greena:
\(\displaystyle{ \oint_{C}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x}=2(x+y), \frac{\partial P}{\partial y}=4y}\)
Rysując w układzie współrzednych dany trójkat otrzymujesz:
\(\displaystyle{ x [1,2], y [x,-x+4]}\)
Zatem korzystajac z wzoru Greena Twoja całka ma postać:
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2(x+y)-4y)dxdy=\int_{1}^{2} t_{x}^{-x+4} 2(x-y)dxdy=...}\)

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:33 ]
ad zad.1
Prace obliczamy z następujacego wzoru:
\(\displaystyle{ W= t_{\Gamma} \vec{F} \circ d\vec{r}}\)

Więc u Ciebie będzie tak (ta siła F nie zależy od z):
\(\displaystyle{ W=\int_{\Gamma}[x+y,2y] \circ [dx,dy]= t_{\Gamma}(x+y)dx + 2xdy}\)
Praca odbywa sie po okręgu,więc:
\(\displaystyle{ x=a \cos t,dx=-a \sin t dt}\) oraz \(\displaystyle{ y=a \sin t,dy=a \cos t dt}\),gdzie \(\displaystyle{ t [0,2\pi]}\)
podstawiamy do naszej całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}(a \cos t + a \sin t)(-a \sin t dt)+2(a \cos t)(a \cos t dt)=...=a^{2}\pi}\)
O ile w rachunkach sie nie machnęłam .

[joannna]

Kurcze katuje te calki i katuje mam takie zadanko
Obliczyc calke
\(\displaystyle{ \int_{L} 2xydx-x^{2} dy}\)
gdzie L jest łukiem paraboli \(\displaystyle{ 4y=x^{2}}\)
zawartym między punktami 0(0,0) i A(2,1)

Zamiast

Kod: Zaznacz cały

[tex]int_{L}[/tex] 2xydx-[tex]x^{2}[/tex] dy

pisz

Kod: Zaznacz cały

[tex]int_{L} 2xydx-x^{2} dy[/tex]

luka52[/i][/color]

[greey10]

popraw zapis bo nic nie da sie rozczytac i przydalo by sie nowy temat zalozyc ;/

[luka52]

\(\displaystyle{ \int_L 2xy dx - x^2 dy = \int\limits_0^2 \left( 2x \frac{x^2}{4} - x^2 \frac{x}{2} \right) dx = \int\limits_0^2 0 \, dx = 0}\)

[joannna]

Dotyczące mojego 1 postu z tego tematu i pomocy kolegi tylko mam jeszcze jakies dziwne rozw

Korzystając z Twierdzenia Greena, możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \oint - y \, dx + x \, dy = \frac{1}{2} \iint\limits_D \left(1 - (-1) \right) \, dx \, dy = \iint\limits_D \, dx \, dy = \int\limits_0^1 \, dy \int \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = \ldots}\)
Czyli po prostu pole obszaru ograniczonego przez kontur \(\displaystyle{ L}\).

czyli wychodzi mi taka brzydka calka

\(\displaystyle{ ({e^y}-(y-1))y}\) czy to mozliwe?

[luka52]

\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \, dy \int \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = \int\limits_0^1 \left(1 + e^y - y \right) \, dy = e^y + y - \frac{y^2}{2} \Big|_0^1 = e - \frac{1}{2}}\)

BTW. Kasiula@ po co w zad3 liczyć jakąkolwiek całkę? Wystarczy \(\displaystyle{ U(B)-U(A)}\) znacznie mniej roboty.