Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)
: 16 maja 2011, o 23:17
Ostatnie trzy zadania - część matematyczna:
7. Niech \(\displaystyle{ f:[1,+ \infty )\rightarrow \left( 0,+ \infty\right)}\) będzie funkcją ciągłą.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2} (x-1)}\).
8. Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji \(\displaystyle{ \left\{ f_n,n \ge 1\right\}}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) taki, że:
1) każda \(\displaystyle{ f_n}\) jest niemalejąca (ale nie musi być ciągła),
2) \(\displaystyle{ f(t)=\lim_{n \rightarrow + \infty }f_n(t)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\).
3) \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła
Wykazać, że \(\displaystyle{ \left\{ f_n, n \ge 1\right\}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f}\) jednostajnie.
9. Rozważmy równanie zwyczajne
\(\displaystyle{ \dot{x}^{\epsilon} = - x^{\epsilon} \ln |x^{\epsilon}|, \quad x^{\epsilon}(0)= \epsilon}\).
Zbadaj zachowanie rozwiązań \(\displaystyle{ x^{\epsilon}}\) dla \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^+}\). Czy \(\displaystyle{ x^{\epsilon}(t) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\), jeśli tak to w jakiej normie?
7. Niech \(\displaystyle{ f:[1,+ \infty )\rightarrow \left( 0,+ \infty\right)}\) będzie funkcją ciągłą.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2} (x-1)}\).
8. Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji \(\displaystyle{ \left\{ f_n,n \ge 1\right\}}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) taki, że:
1) każda \(\displaystyle{ f_n}\) jest niemalejąca (ale nie musi być ciągła),
2) \(\displaystyle{ f(t)=\lim_{n \rightarrow + \infty }f_n(t)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\).
3) \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła
Wykazać, że \(\displaystyle{ \left\{ f_n, n \ge 1\right\}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f}\) jednostajnie.
9. Rozważmy równanie zwyczajne
\(\displaystyle{ \dot{x}^{\epsilon} = - x^{\epsilon} \ln |x^{\epsilon}|, \quad x^{\epsilon}(0)= \epsilon}\).
Zbadaj zachowanie rozwiązań \(\displaystyle{ x^{\epsilon}}\) dla \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^+}\). Czy \(\displaystyle{ x^{\epsilon}(t) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\), jeśli tak to w jakiej normie?