Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)

Wszystko, co chcielibyście wiedzieć o studiowaniu: co wybrać? jakie są warunki przyjęć? życie studenckie? Zajrzyjcie tutaj!
BraveMind
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 9 maja 2011, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)

Post autor: BraveMind » 16 maja 2011, o 23:17

Ostatnie trzy zadania - część matematyczna: 7. Niech \(\displaystyle{ f:[1,+ infty ) ightarrow left( 0,+ infty ight)}\) będzie funkcją ciągłą. Zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2} (x-1)}\). 8. Załóżmy, że dany jest ciąg funkcji \(\displaystyle{ \left\{ f_n,n \ge 1\right\}}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) taki, że: 1) każda \(\displaystyle{ f_n}\) jest niemalejąca (ale nie musi być ciągła), 2) \(\displaystyle{ f(t)=\lim_{n \rightarrow + \infty }f_n(t)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\). 3) \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła Wykazać, że \(\displaystyle{ \left\{ f_n, n \ge 1\right\}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f}\) jednostajnie. 9. Rozważmy równanie zwyczajne \(\displaystyle{ \dot{x}^{\epsilon} = - x^{\epsilon} \ln |x^{\epsilon}|, \quad x^{\epsilon}(0)= \epsilon}\). Zbadaj zachowanie rozwiązań \(\displaystyle{ x^{\epsilon}}\) dla \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0^+}\). Czy \(\displaystyle{ x^{\epsilon}(t) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\), jeśli tak to w jakiej normie?
Ostatnio zmieniony 15 kwie 2016, o 19:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)

Post autor: arek1357 » 25 lis 2014, o 17:18

W zadaniu 8 podziel przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) na N przedziałów o długości:

\(\displaystyle{ \frac{1}{N}<\delta , x_{0},x_{1},x_{2},...x_{N}}\) są końcami tych przedziałów

Wybierzmy teraz \(\displaystyle{ n_{0}}\)
Tak aby: \(\displaystyle{ |f_{n}(x_{i})-f(x_{i})|<\lambda}\) dla \(\displaystyle{ n>n_{0}}\)

Dodajmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ [0,1]}\)

Więc spełnia warunek:

istnieje taka \(\displaystyle{ \lambda}\) ,że dla \(\displaystyle{ |x-y|<\delta}\) to \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|<\lambda}\)

jeśli teraz \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) to \(\displaystyle{ x \in [x_{i},x_{i+1}]}\)


funkcja f jest niemalejąca jako ciąg funkcji niemalejących

\(\displaystyle{ f(x_{i}) \le f(x) \le f(x_{i+1})}\) ,

\(\displaystyle{ f(x_{i})-\lambda \le f_{n}(x_{i}) \le f_{n}(x) \le f_{n}(x_{i+1}) \le f(x_{i})+\lambda}\)

bo:\(\displaystyle{ f(x),f_{n}(x)}\) należą do przedziału


o końcach: \(\displaystyle{ f(x_{i})-\lambda, f(x_{i})+\lambda}\)

Odstępy między punktami \(\displaystyle{ x_{i}}\) są mniejsze niż \(\displaystyle{ \delta}\)
Więc można dobrać \(\displaystyle{ \lambda}\) do \(\displaystyle{ \delta}\),

Teraz widać że \(\displaystyle{ fi f_{n}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) leżą dowolnie
blisko siebie. Bo zarówno \(\displaystyle{ f(x)i f_{n}(x)}\) należą do przedziału:

Można to było zgrabniej pewnie, korzystałem z tego, że f jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ [0,1]}\)

Poprawiłem..

W zadaniu 7 wystarczy zróżniczkować stronami i mamy banalne równanie różniczkowe.

Ha ha to różniczkujmy nierowność
Ostatnio zmieniony 25 lis 2014, o 20:26 przez arek1357, łącznie zmieniany 9 razy.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)

Post autor: yorgin » 25 lis 2014, o 19:04

arek1357 pisze: \(\displaystyle{ f(x_{i})-\lambda<f_{n}(x_{i})<f_{n}(x)<f_{n}(x_{i+1})< f(x_{i})+\lambda}\)
Ostatnia nierówność nie została w żaden sposób skomentowana.
arek1357 pisze: Teraz widać że \(\displaystyle{ fi f_{n}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) leżą dowolnie
blisko siebie.
No ja nie widzę. Szczególnie, że masz wyżej nierówności na końcach przedziałów podziału, a nie dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).

Poza tym wszędzie piszesz nierówności ostre, co oczywiście jest niepoprawne.
arek1357 pisze: W zadaniu 7 wystarczy zróżniczkować stronami i mamy banalne równanie różniczkowe.
A skąd dostaniesz to równanie, gdy w zadaniu 7. nie ma żadnej równości?

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zadania na Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych (cz.3)

Post autor: Elvis » 15 kwie 2016, o 10:24

7. Niech \(\displaystyle{ F(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt}\) będzie funkcją pierwotną, wtedy \(\displaystyle{ F' \geqslant F^{1/2}}\). Oznaczmy pomocniczo \(\displaystyle{ G = F^{1/2}}\), wtedy \(\displaystyle{ G' \geqslant \frac 12}\), skąd \(\displaystyle{ f(x) \geqslant G(x) \geqslant \frac 12 (x-1)}\).

ODPOWIEDZ