Robakks pisze:Na YouTube został sformułowany następujący problem:
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
Po pierwsze nie każda granica jest osiągalna (uwaga dotycząca granicy ciągu geometrycznego o ilorazie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz szeregu geometrycznego o tym samym ilorazie- zapewne ma on związek z wspomnianym przez Ciebie podziale połówkowym).
Wydaje mi się że Twoje pytania wynikają z niezrozumienia pozorności tego paradoksu- jeżeli Achilles stawia coraz mniejsze kroki oraz mogą one być dowolnie małe nie jest niczym złym stwierdzenie, że być może nie może dobiec dowolnie daleko. Jeżeli natomiast długość kroku jest ograniczona z dołu przez pewną dodatnią liczbę to niewątpliwie przegoni żółwia o ile tylko porusza się szybciej od niego, a argumentacja stosowana do poprzedniego przypadku jest po prostu niepoprawna.
Nie wiem czym jest rekurencyjne osiąganie granicy, ale w pierwszym przypadku badany ciąg swojej granicy nie osiąga.
W pierwszym poście pytałeś o następniki pewnych obiektów- w oczywisty sposób nie istnieją, skoro można zaprzeczyć nie tylko ich przynależności do zbioru liczb naturalnych, ale także w ogóle ich istnieniu.
Ciężko mówić także o wyprzedzeniu o punkt, ponieważ powszechnie użytkowana metryka euklidesowa dla elementów prostej przyjmuje wartości rzeczywiste- możemy powiedzieć że punkty są odległe o 2 albo o 7. Mówiąc ze są odległe o odcinek (niezależnie od tego jak głupi to brzmi) mamy zapewne na myśli, ze są odległe o jego długość. Przenosząc poprzez analogię znaczenie tego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że dwa punkty są odległe o punkt, jeżeli odległość miedzy nimi wynosi 0. Byc może miałeś na myśli coś innego, ale pamiętaj, że odkrywając istniejące już teorie na nowo i zmieniając ich założenia nie możemy oczekiwać, że nie otrzymamy natychmiastowej sprzeczności.
Jeżeli wciąż nie jest to jasne to spróbuj wskazać liczbę naturalną, o postulowanych własnościach, a ja wtedy wskażę jej następnik
Swoją droga dobrze, że już wróciłeś skoro założyciel tematu o "hipotezie reinmana" zdołał tak szybko dostać bana i dyskusja na tego typu tematu umarła:)