Paradoks Achillesa i żółwia

Dyskusje o matematykach, matematyce... W szkole, na uczelni, w karierze... Czego potrzeba - talentu, umiejętności, szczęścia? Zapraszamy do dyskusji :)
Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 09:34

Na YouTube został sformułowany następujący problem:
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt

Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
Ostatnio zmieniony 4 sie 2010, o 14:01 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

miodzio1988

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: miodzio1988 » 4 sie 2010, o 10:16

post702339.htm

Jakieś nowe argumenty masz? Bo już Twoje pomysły obaliliśmy raz

Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 13:13

miodzio1988 pisze:http://matematyka.pl/post702339.htm
...już Twoje pomysły obaliliśmy raz
Coś się wam przyśniło z tym, że obaliliście coś tam.
Piszcie miodzio1988 na temat i odnoście się do treści, a treść jest oczywista
1) żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) Achilles zrównuje się z żółwiem
3) Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Co chcecie obalać - FAKT nie podlegający dyskusji?
Nie obalajcie miodzio1988 tylko piszcie na temat.
\(\displaystyle{ \pm}\)

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Althorion » 4 sie 2010, o 14:03

Jako że temat ten nie dotyczy rozwiązania jakiegoś zadania, a raczej Autor chce wykazać nam naszą nieznajomość matematyki i przedyskutować ją, zdecydowałem się przenieść temat.

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Inkwizytor » 4 sie 2010, o 14:28

A we mnie jest strach.
Strach zaczynać rozmowę z kimś kto pisze takie oto mądrości:
Oczywiście, że można punkt styku okręgu z odcinkiem podzielić
na dowolną ilość punktów jeszcze mniejszych, ale nie będą to już
liczby rzeczywiste. Na osi liczbowej będą w tym samym miejscu.
Aby je zobaczyć musiałbyś przeskalować oś.
-----------------------------------------------------------------------
post w którym wyjaśniałem różnicę pomiędzy punktem w geometrii (punkt, który ma ciało)
a BRAKpunktem (punkt, który nie ma ciała).
ale spróbuję:
W paradoksie wyścigu żółwia i Achillesa, mamy do czynienia ze skracaniem dwóch parametrów opisujących ruch: drogi i czasu.
Skoro skwantowałeś odległość* to wypadałoby również to samo zrobić z czasem. A ponadto proponuję równolegle do analizy odległości zająć się analizą czasu. Dopiero wtedy możemy coś więcej powiedziec o tym ruchu.

* - a możesz powiedzieć ile punktów liczy odcinek o długości 1cm?

Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 14:57

Althorion pisze:Jako że temat ten nie dotyczy rozwiązania jakiegoś zadania, a raczej Autor chce wykazać nam naszą nieznajomość matematyki i przedyskutować ją, zdecydowałem się przenieść temat.
Wyjaśniam:
Zrównanie się Achillesa i żółwia jest równoznaczne z osiąganiem granicy podziału połówkowego, dlatego wątek został umieszczony w dziale Analiza. Kroki Achillesa i żółwia są uporządkowanym szeregiem dlatego wątek został umieszczony w części Ciągi i szeregi funkcyjne.
Odpowiedź na pytanie które zadałem jest rozwiązaniem konkretnego zadania w temacie osiągania i przekraczania granicy zbioru.
Inkwizytor pisze:W paradoksie wyścigu żółwia i Achillesa, mamy do czynienia ze skracaniem dwóch parametrów opisujących ruch: drogi i czasu.
Zenon z Elei zaprezentował problem, któremu nadano nazwę "Paradoks Achillesa i żółwia".
Pytanie brzmi:
Czy Achilles zrównuje się z żółwiem, a więc czy podział połówkowy osiąga rekurencyjnie granicę?
W temacie ilości punktów na odcinku o długości 1cm w tym momencie nie będę się wypowiadał.
Istotne jest pytanie:
Czy Achilles zrównuje się z żółwiem i jaka jest długość ostatniego kroku?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: miki999 » 4 sie 2010, o 16:43

1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Odpowiem w 1 zdaniu: krok Achillesa nie jest liczbą naturalną. Chyba że przypiszesz mu pewną określoną i skończoną wartość ze zbioru liczb naturalnych. Od razu podpowiem: alef 0 i continuum nie należą do tego zbioru...
Zenon z Elei zaprezentował problem, któremu nadano nazwę "Paradoks Achillesa i żółwia".
Pytanie brzmi:
To już prezentowałeś w innym wątku, więc nie ma potrzeby kolejny raz tego wałkować. Rozważany jest problem z 1. postu.


Mikołaj Człowiek* z Bydgoszczy.

pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: pawels » 4 sie 2010, o 17:01

Robakks pisze:Na YouTube został sformułowany następujący problem:
W aksjomatyce Peano na której opiera się Teoria Mnogości istnieje postulat:
"Każda liczba naturalna ma swój następnik"
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt

Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Edward Robak* z Nowej Huty
Po pierwsze nie każda granica jest osiągalna (uwaga dotycząca granicy ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz szeregu geometrycznego o tym samym ilorazie- zapewne ma on związek z wspomnianym przez Ciebie podziale połówkowym).

Wydaje mi się że Twoje pytania wynikają z niezrozumienia pozorności tego paradoksu- jeżeli Achilles stawia coraz mniejsze kroki oraz mogą one być dowolnie małe nie jest niczym złym stwierdzenie, że być może nie może dobiec dowolnie daleko. Jeżeli natomiast długość kroku jest ograniczona z dołu przez pewną dodatnią liczbę to niewątpliwie przegoni żółwia o ile tylko porusza się szybciej od niego, a argumentacja stosowana do poprzedniego przypadku jest po prostu niepoprawna.

Nie wiem czym jest rekurencyjne osiąganie granicy, ale w pierwszym przypadku badany ciąg swojej granicy nie osiąga.

W pierwszym poście pytałeś o następniki pewnych obiektów- w oczywisty sposób nie istnieją, skoro można zaprzeczyć nie tylko ich przynależności do zbioru liczb naturalnych, ale także w ogóle ich istnieniu.

Ciężko mówić także o wyprzedzeniu o punkt, ponieważ powszechnie użytkowana metryka euklidesowa dla elementów prostej przyjmuje wartości rzeczywiste- możemy powiedzieć że punkty są odległe o 2 albo o 7. Mówiąc ze są odległe o odcinek (niezależnie od tego jak głupi to brzmi) mamy zapewne na myśli, ze są odległe o jego długość. Przenosząc poprzez analogię znaczenie tego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że dwa punkty są odległe o punkt, jeżeli odległość miedzy nimi wynosi 0. Byc może miałeś na myśli coś innego, ale pamiętaj, że odkrywając istniejące już teorie na nowo i zmieniając ich założenia nie możemy oczekiwać, że nie otrzymamy natychmiastowej sprzeczności.

Jeżeli wciąż nie jest to jasne to spróbuj wskazać liczbę naturalną, o postulowanych własnościach, a ja wtedy wskażę jej następnik

Swoją droga dobrze, że już wróciłeś skoro założyciel tematu o "hipotezie reinmana" zdołał tak szybko dostać bana i dyskusja na tego typu tematu umarła:)

Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 18:09

[quote="miki999"]Odpowiem w 1 zdaniu: krok Achillesa nie jest liczbą naturalną. Chyba że przypiszesz mu pewną określoną i skończoną wartość ze zbioru liczb naturalnych. Od razu podpowiem: alef 0 i continuum nie należą do tego zbioru...
Mikołaj Człowiek* z Bydgoszczy.[/quote]
[quote="pawels"]Nie wiem czym jest rekurencyjne osiąganie granicy, ale w pierwszym przypadku badany ciąg swojej granicy nie osiąga.[/quote]
Przypomnę więc o co chodzi w "paradoksie Achillesa i żółwia".
Achilles i żółw poruszają się po tej samej prostej z jednostajną prędkością, przy czym prędkość Achillesa jest dwukrotnie większa niż prędkość żółwia. Achilles startuje z punktu A, żółw startuje z punktu B, a w punkcie C zrównują się:

--A----------B----------C----------B'----------A'----

Zanim Achilles i żółw zrównają się w punkcie C to żółw wyprzedza Achillesa. Po przekroczeniu punktu C Achilles wyprzedza żółwia. Długość odcinka AB jest równa długości odcinka BC. Słowem KROK nazwano kolejne odcinki wyznaczane odległością pomiędzy żółwiem a Achillesem w chwili Gdy Achilles osiąga poprzednie położenie żółwia, a długość odcinka AC określono jako \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ Krok 1}\) ma więc długość \(\displaystyle{ 1/2}\), krok drugi ma długość \(\displaystyle{ 1/4}\)a każdy kolejny krok jest o połowę krótszy od poprzedniego.
Rekurencyjne osiąganie granicy właśnie tego dotyczy: występuje bezpośrednia zależność pomiędzy krokiem następującym a poprzedzającym, a granicą jest moment gdy Achilles i żółw zrównują się w punkcie C.
W odpowiedzi proszę odnosić się nie do swoich wyobrażeń ale do tekstu, który napisałem. OK?

pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: pawels » 4 sie 2010, o 20:38

Wciąż nie widzę, co rekurencyjne określenie długości kroku ma wspólnego z osiąganiem granicy (z samą granicą ma bardzo wiele- np. pozwala ją wyznaczyć).

Trzeba pamiętać, że przy wyciąganiu wniosków ze swoich rozmyślań a następnie konfrontowaniu ich z istniejącymi wynikami rozwoju teorii należy nie przyjmować ze pewnik tego co podsuwa intuicja tylko przeprowadzić formalny dowód.

Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec może sugerować, że wykonany został ostatni krok- jednak skąd pewność? Jest to tylko podpowiedź intuicji, która akurat w tym przypadku zawodzi.

Po pierwsze można spojrzeć na problem inaczej- zamiast widzieć malutkie kroczki wykonywane przez ludzika można spojrzeć na kawałki drogi które pokonuje- są coraz mniejsze ale jeżeli weźmiemy ich dowolna liczbę to i tak nie zapełnią nam całego jednostkowego odcinka (każdy z nich ma długość \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\) dla pewnego k naturalnego, większego od 1 i można nawet spróbować podjąć się nietrudnego dowodu, że biorąc dowolną liczbę tych kawałków całego odcinka nie złożymy). Co zatem z naszym paradoksem? Przecież wszystkie kawałki wypełniają cały odcinek? Gdy już wymyśli się, że będzie ich "nieskończenie wiele" można sięgnąć po teorię mnogości i pokazać, że zbiór złożony z takich małych kawałeczków jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wówczas jak na dłoni widać, że ostatniego kroku nie będzie.

Teraz co do granicy ciągu- trzeba pamiętać że nie jest to wartość naszej funkcji w wyimaginowanym "punkcie nieskończoność", tylko bardzo konkretna własność ciągu, jasno określona przez definicję. Nie można spodziewać się, że będzie ona zgodna z naszymi wszystkimi przemyśleniami, a próba formalizacji takich sposobów myślenia o granicy ciągu bardzo często prowadzi do sprzeczności.

Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 21:04

pawels pisze:Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec...
Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.
Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Althorion » 4 sie 2010, o 21:27

Teraz to ja już zgłupiałem:
Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.
Proszę podać następniki:
1) przedostatniego kroku Achillesa w którym żółw wyprzedza Achillesa o punkt
2) ostatniego kroku Achillesa w którym Achilles zrównuje się z żółwiem
3) ponadostatniego kroku w którym Achilles wyprzedza żółwia o punkt
Dobrze zrozumiałem, że pytasz się o kroki, których nie robi?

Awatar użytkownika
Robakks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 22 lis 2007, o 09:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 69
Lokalizacja: Kraków

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: Robakks » 4 sie 2010, o 21:59

Althorion pisze:Dobrze zrozumiałem, że pytasz się o kroki, których nie robi?
Czytaj ze zrozumieniem:
"Słowem KROK nazwano kolejne odcinki wyznaczane odległością pomiędzy żółwiem a Achillesem w chwili Gdy Achilles osiąga poprzednie położenie żółwia."
Achilles nie robi kroków podobnie jak nie robi kroków pociąg poruszający się po torach i mijający kolejne stacje. Człowiek ma taką możliwość by odległości pomiędzy stacjami zaliczać do konkretnych kroków np.
gdy pociąg nie pokonał jeszcze połowy trasy to znajduje się w pierwszym kroku. Gdy pokona połowę
ale nie pokonał jeszcze 3/4 to znajduje się w drugim kroku itd.
Gdy pociąg zatrzymuje się na stacji docelowej to podział połówkowy kończy się, bo granica została osiągnięta.

pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: pawels » 4 sie 2010, o 22:00

Robakks pisze:
pawels pisze:Wrażenie, że Achilles robi kolejne kroki, a proces ma koniec...
Achilles nie robi kolejnych kroków lecz porusza się po prostej z jednostajną prędkością osiągając koniec podziału połówkowego odcinka AC w chwili zrównania się z żółwiem w punkcie C.
Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?
Otóż napisałem, że poglądowo wygodniej patrzeć na to jak na kawałki przebywanej drogi- i w tej konwencji znaczeniowej pisałem swój post. Zamiast patrzeć na szczegóły lepiej zbadać sens przesłania i argumentacji wypowiedzi.

PS
Nie zdarzyło mi się oglądać w życiu nawet jeden prostej, a co dopiero pary równoległych. Nie widziałem także żadnego punktu i jestem świadomy faktu, że geometria (podobnie jak fizyka) stanowi model rzeczywistości, oraz staram się nie wprowadzać jej szczegółów do modelu tylko konstruuje go w oparciu o przyjęte na początku założenia. Poza tym na płaszczyźnie euklidesowej proste równoległe o dziwo sie nie przecinają, a uprzedzając odpowiedź zaznaczam, że w geometrii rzutowej "punktem w nieskończoności" nazywamy kierunek.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Paradoks Achillesa i żółwia

Post autor: miki999 » 4 sie 2010, o 22:11

W odpowiedzi proszę odnosić się nie do swoich wyobrażeń ale do tekstu, który napisałem. OK?
Nie. To forum matematyczne i do matematyki będziemy się odwoływać.
Przypomnę więc o co chodzi w "paradoksie Achillesa i żółwia".
Wszyscy go znają- nie musisz.
Rekurencyjne osiąganie granicy
Poproszę o definicję: "rekurencyjne osiąganie granicy". Chyba że przeczytałeś 2 artykuły na wiki (rekurencja + granica) i stworzyłeś pojęcie, które nic nie wnosi.
poprzedzającym, a granicą jest moment gdy Achilles i żółw zrównują się w punkcie C.
Twoje idee nie są ani teoretyczne ani praktyczne. Wymodelowałeś jakiś dziwny układ. Nie można go nazwać fizycznym, bo nie bierzesz pod uwagę wielkości jaką jest czas. W czasie \(\displaystyle{ t=0}\) Achilles przebiegnie zerowy dystans. Super, nie? Zauważ, że dzieląc przebywaną drogę na coraz to mniejsze kawałki, dzielisz również czas. Łatwo zauważyć, że nie przekracza on pewnej wartości \(\displaystyle{ t_0}\), która to jest miejscem spotkania się żółwia i Achillesa. I nie wynika to z niedoskonałości matematyki, tylko modelu jaki ułożyłeś.
Czy patrząc na punkt przecięcia dwóch prostych nierównoległych potrzebujesz dowodu że te proste przecinają się w punkcie?
Tak.
Czy ktoś (oprócz mnie) zna odpowiedź?
Gratulacje. Trafiłeś do pierwszej piątki najbardziej próżnych osób na tym forum.



Pozdrawiam.

Zablokowany