Matematyka.pl

Wykaż, że \(\displaystyle{ (a+b)^p \leq a^p + b^p}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b>0, p (0;1)}\).

ja to myśle tak skoro p nalezy do takiego przedziału to możemy zapisać ze p=l/k
l-nalezy do naturalnycj i k-nalezy do naturalnych prócz zera
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{a^{l}}}\)
i tak samo z b
czyli wystarczy wykazać ze suma pod pierwiastkiem jest mniejsza od sumy dwóch pierwiastków

Nigdzie nie jest napisane, że p jest liczbą wymierną.

nop , Funkcja \(\displaystyle{ y= x^{r}}\), na dziedzinie R+, jest , gdy \(\displaystyle{ r 0, ..f(0)=0, i \(\displaystyle{ f^\prime(a)=p((a+b)^{p-1} -a^{p-1}) q 0}\), tj \(\displaystyle{ f q 0}\) }\)

Albo jeszcze krócej podzielmy nierównośc obie strony przez b i otrzymamy:

\(\displaystyle{ (1+ \frac{b}{a})^{p} }\)

No to jeszcze inny sposób (bez liczenia pochodnych):
Ponieważ \(\displaystyle{ x\mapsto x^{p-1}}\) jest dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\) funkcją malejącą, więc
\(\displaystyle{ (a+p)^p=(a+b)\cdot(a+b)^{p-1}=
a\cdot(a+b)^{p-1}+b\cdot(a+b)^{p-1}\leqslant\\
qslant a\cdot a^{p-1}+b\cdot b^{p-1}=a^p+b^p}\)

Podziel przez b do petej i z nierówności Bernoulliego.

Pozdro

A potrafisz dowieść Bernoulliego dla wykładników niecałkowitych?

Jensenem.

Pozdro