[Nierówności] Ładna nierówność

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: Tristan » 23 paź 2007, o 18:35

Wykaż, że \(\displaystyle{ (a+b)^p \leq a^p + b^p}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b>0, p (0;1)}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

zaudi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 30 sty 2007, o 17:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 26 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: zaudi » 23 paź 2007, o 20:57

ja to myśle tak skoro p nalezy do takiego przedziału to możemy zapisać ze p=l/k
l-nalezy do naturalnycj i k-nalezy do naturalnych prócz zera
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{a^{l}}}\)
i tak samo z b
czyli wystarczy wykazać ze suma pod pierwiastkiem jest mniejsza od sumy dwóch pierwiastków

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: Tristan » 23 paź 2007, o 21:00

Nigdzie nie jest napisane, że p jest liczbą wymierną.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7104
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2627 razy
Pomógł: 687 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 paź 2007, o 21:49

nop , Funkcja \(\displaystyle{ y= x^{r}}\), na dziedzinie R+, jest , gdy \(\displaystyle{ r 0, ..f(0)=0, i \(\displaystyle{ f^\prime(a)=p((a+b)^{p-1} -a^{p-1}) q 0}\), tj \(\displaystyle{ f q 0}\) }\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4145
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 414 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: arek1357 » 24 paź 2007, o 02:06

Albo jeszcze krócej podzielmy nierównośc obie strony przez b i otrzymamy:

\(\displaystyle{ (1+ \frac{b}{a})^{p} }\)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: andkom » 24 paź 2007, o 11:35

No to jeszcze inny sposób (bez liczenia pochodnych):
Ponieważ \(\displaystyle{ x\mapsto x^{p-1}}\) jest dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\) funkcją malejącą, więc
\(\displaystyle{ (a+p)^p=(a+b)\cdot(a+b)^{p-1}=
a\cdot(a+b)^{p-1}+b\cdot(a+b)^{p-1}\leqslant\\
qslant a\cdot a^{p-1}+b\cdot b^{p-1}=a^p+b^p}\)

Awatar użytkownika
Menda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 4 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: Menda » 26 paź 2007, o 23:36

Podziel przez b do petej i z nierówności Bernoulliego.

Pozdro

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: Rogal » 27 paź 2007, o 15:17

A potrafisz dowieść Bernoulliego dla wykładników niecałkowitych?

Awatar użytkownika
Menda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 4 razy

[Nierówności] Ładna nierówność

Post autor: Menda » 27 paź 2007, o 22:22

Jensenem.

Pozdro

ODPOWIEDZ